2013 和歌山県立医科大学 前期

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2013 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )

f( x)= { 2x +1 (0 x< π2 ) 2x +sinx (x π2 )

と定め,関数 g (x )

gx )=f (2 x) -2f (x ) 0x 2π

と定める.

(1) 関数 g (x ) の最大値と最小値,およびそれらをとる x の値を求めよ.

(2) 曲線 C y=g (x ) の概形を描け.ただし,変曲点に留意しなくてよい.

(3) 区間 [ 0,2π ] で,曲線 C x 軸の間にある部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 実数 x y に対して, xy x y の小さくない方を表し, xy x y の大きくない方を表すとする.

(1)  (1 2) ( 34 ) および ( 13 ) (2 4) を求めよ.

(2) 実数 a b c d に対して,

(a b) (c d) (a c) (b d)

が成り立つことを示せ.

(3) 実数 a b c d に対して,

(a b) (c d) =(a c) (b d)

が成り立つか.成り立つ場合は証明し,成り立たない場合は反例をあげよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 隣り合う辺の長さが a b の長方形がある.その各辺の中点を順に結んで四角形をつくる.さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形をつくる.このような操作を無限に続ける.

(1) 最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和 S を求めよ.

(2) 関係 a +b=1 を満たしながら a b が動くときの S の最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  2 次の正方行列について,以下の問いに答えよ.ただし, E=( 1 00 1 ) とする.

(1) 行列 S =( ab 0d ) T=( e fg h ) が, TS =E を満たすならば, ST= E となることを示せ.

(2) 行列 A =( ab cd ) (ただし, a0 )に対して,行列 B B A=E を満たすとする.さらに, P=( 1 0 - ca 1 ) Q=( 1 0 ca 1 ) を考えて, M=P A N= BQ とおく.

(ⅰ)  NM =E を示せ.

(ⅱ)  MN= E を示し, AB =E となることを示せ.

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