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2014 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
[1] を原点とする座標平面において,点を中心とする円が,方程式で表される直線に接しているとする.
(1) 円の半径を求めよう.
点を通り直線に垂直な直線の方程式は
なので,からに引いた垂線との交点の座標は
となる.
求めるの半径は,との距離に等しいので
である.
(2) 円が,軸に接し,点を通る場合を考える.このとき,である.の方程式を求めよう.
は軸に接するので,の半径はに等しい.したがって,により,である.
は点を通るので,求めるの方程式は
または
であることがわかる.ただし,とする.
(3) 方程式の表す円の中心を方程式の表す円の中心をとおくと,直線は原点を通り,点は線分をする.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
2014 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
2014 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
(1) 関数が極値をもつためのの条件を求めよう.の導関数は,である.したがって,がで極値をとるならば,が成り立つ.さらに,の前後でのの符号の変化を考えることにより,が条件を満たす場合は,は必ず極値をもつことがわかる.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
(2) 関数がで極値をとるとする.また,曲線をとし,上の点をとする.
がで極値をとることから,であり,はで極大値をとり,で極小値をとる.
曲線の接線で,点を通り傾きがでないものをとする.の方程式を求めよう.との接点の座標をとすると,は点におけるの接線であるから,の方程式はを用いて
と表すことができる.また,は点を通るから,方程式
を得る.この方程式を解くと,であるが,の傾きがでないことから,の方程式は
である.
点を頂点とし,原点を通る放物線をとする.とで囲まれた図形のうち,不等式の表す領域に含まれる部分の面積を求めよう.の方程式は
であるから,定積分を計算することにより,となる.
(1) まず,となるの範囲を求めよう.
三角関数の倍角の公式を利用すれば
である.よって,において,となるの値は,小さい順に,であることがわかる.また,となるの範囲は,である.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
(2) 次に,の最大値と最小値を求めよう.
から
である.
よって,から,は,において最大値をとり,において最小値をとることがわかる.ただし,については,当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.とは解答の順序を問わない.
ここで,は,を満たすものとする.
(3) 以上のことから,における関数のグラフの概形として適切なものはであることがわかる.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
で定める.は,を満たし,以上の自然数に対してはであるとする.
により
となり,はを用いて
と因数分解される.を用いて,をについて解くと
となる.
また,を以上の自然数とするとき,不等式をについて解くと
となる.のとき,の値が大きくなると,の右辺の値は小さくなる.したがって,とにより,のとり得る値の範囲は
となる.
次関数のグラフを考えると,かつであるから,方程式はとの間に実数解をもつ.のとり得る値の範囲を求めよう.
により,このは,次方程式
の解である.この方程式の他の解をとすると,解と係数の関係により,はを用いて
と表される.したがって,により
が得られる.解と係数の関係により,であり,また,であるから,は
と変形できる.この不等式をについて解いて,に注意すると,のとり得る値の範囲は
であることがわかる.
2014 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
【3】 数列の初項はであり,の階差数列は初項が公差がの等差数列である.
(1) である.数列の一般項を求めよう.の階差数列の第項がであるから,数列の一般項は
である.
(2) 数列は,初項がで,漸化式
を満たすとする.である.数列の一般項と初項から第項までの和を求めよう.
により,すべての自然数に対して
が成り立つことがわかる.
ここで
とするとき,をとを用いて変形すると,すべての自然数に対して
が成り立つことがわかる.これにより
とおくと,すべての自然数に対して,が成り立つことがわかる.であるから,すべての自然数に対して,である.したがって,とにより,数列の一般項は
である.また
が成り立つことを利用すると,数列の初項から第項までの和は
であることがわかる.
2014 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
とし,をに内分する点ををに内分する点をとする.上の点上の点およびの点は同一平面上にあり,四角形は平行四辺形であるとする.
(1) 四角形の面積を求めよう.ベクトルを成分で表すと
となり,四角形が平行四辺形であることにより,である.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
ここで,と表すと,であるので,となり,はをに内分することがわかる.
また,とについて
となるので,四角形の面積はである.
(2) 四角形を含む平面をとし,点を通り平面と垂直に交わる直線をとの交点をとする.と三角の体積を求めよう.
とおくと,はおよびと垂直であるから,となるので,であることがわかる.とが垂直であることによりとなり,を求めると
である.は三角形を底面とする三角錐の高さであるから,三角錐の体積はである.
2014 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
英語 | 数学 | |
生徒1 | ||
生徒2 | ||
生徒3 | ||
生徒4 | ||
生徒5 | A | |
生徒6 | C | |
生徒7 | D | |
生徒8 | ||
生徒9 | ||
平均値 | ||
分 散 | B | |
相関係数 |
【5】 右の表は,あるクラスの生徒人に対して行われた英語と数学のテスト(各点満点)の得点をまとめたものである.ただし,テストの得点は整数値である.また,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.
以下,小数の形で解答する場合,指定された数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁までにマークすること.
(1) 生徒5の英語の得点Aは点であり,人の英語の得点の分散Bの値はである.また,人の数学の得点の平均値が点であることと,英語と数学の得点の相関係数の値がであることから,生徒6の数学の得点Cと生徒7の数学の得点Dの関係式
が得られる.したがって,Cは点,Dは点である.
(2) 人の英語と数学の得点の相関図(散布図)として適切なものはである.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
英語 | 数学 | |
生徒1 | ||
生徒2 | ||
生徒3 | ||
生徒4 | ||
生徒5 | A | |
生徒6 | C | |
生徒7 | D | |
生徒8 | ||
生徒9 | ||
生徒10 | F | |
平均値 | E | |
分 散 | ||
相関係数 |
(3) 生徒10が転入したので,その生徒に対して同じテストを行った.右の表は,はじめの人の生徒に生徒10を加えた人の得点をまとめたものである.ただし,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.
人の英語の得点の平均値Eは点であり,生徒10の数学の得点Fは点である.
(4) 生徒10が転入した後で人の生徒が転出した.残った人の生徒について,英語の得点の平均値は人の平均値と同じ点,数学の得点の平均値は人の平均値と同じ点であった.転出したのは生徒である.また,英語について,人の得点の分散の値を残った人の得点の分散の値をとすると
が成り立つ.さらに,人についての英語と数学の得点の相関係数の値を残った人についての英語と数学の得点の相関係数の値をとすると
が成り立つ.に当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.
2014 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
の素因数分解を考える.
(1) のとき,の素因数分解はである.は,素因数を個,素因数を個,素因数を個もつ.
(2) がもつ素因数の個数を求める方法について考えよう.
まず,の整数部分をとおく.以下の自然数の中には,個の偶数がある.その他の奇数の積をとおくと,は次のように表すことができる.
したがって,は少なくとも個の素因数をもつことがわかる.さらに,がもつ素因数の個数を求めるために,に対する手順をに対して再び用いることができる.
つまり,がもつ素因数の個数を求めるためには,からの整数部分であるを求め,を改めてと考えて,同じ手順を用いて新しくを求める,という手順の繰り返しをとなるまで行えばよい.この手順の繰り返しで求められたすべてのの和が,がもつ素因数分解の個数である.
たとえば,の場合には,であるから,となる.この手順を繰り返してを求めた結果は,からを求める手順を矢印()で表すと,次のようにまとめられる.
太字で表されたが,この手順を繰り返して求められたの値である.それらの和が,のもつ素因数の個数である.
この手順にしたがって,以上の自然数を入力して,がもつ素因数の個数を出力する〔プログラム1〕を作成した.ただし,INT (X)
は X
を越えない最大の整数を表す関数である.
〔プログラム1〕
100 INPUT PROMPT "N=":N
110 LET D=2
120 LET C=0
130 LET M=N
140 FOR J=1 TO N
150 LET M=INT(M/D)
160 LET
170 IF
THEN GOTO 190
180 NEXT J
190 PRINT "
素因数";D"
は";C;"
個"
200 END
〔プログラム1〕のに当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
C=C+1
C=M
C=C+M
C=C+M+1
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
M>=D
M=D
M<=D
M<D
M>D
〔プログラム1〕を実行し,変数N
に101
を入力する.170
行の「GOTO 190
」が実行されるときの変数J
の値はである.また,190
行で出力される変数C
の値はである.
(3) がもつ素因数の個数を求める方法は,他の素因数の個数についても同様に適用できる.たとえば,がもつ素因数の個数を求める場合は,まず,の整数部分をとおく.以下の自然数の中には個のの倍数があるので,は少なくとも個の素因数をもつ.また,これらの個のの倍数をで割った商はである.の中の素因数の個数を求めるためには,をと考えて,同じ手順を繰り返せばよい.
したがって,がもつ素因数の個数を求めるためのには,〔プログラム1〕の行をに変更すればよい.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
INPUT PROMPT "N=":N
INPUT PROMPT "C=":C
INPUT PROMPT "M=":M
LET C=5
LET D=5
LET M=D
変更した〔プログラム1〕を実行することにより,は素因数を個もつことがわかる.したがって,がもつ素因数の個数と素因数の個数について考えることにより,をで割り切れる限り割り続けると,回割れることがわかる.
(4) 以下のすべての素数が,の素因数として含まれる.その個数は,素数や素数の場合と同様に求められる.以下のすべての素因数について,がもつ素因数とその個数を順に出力するように,〔プログラム1〕を変更して〔プログラム2〕を作成した.行番号に下線が引かれた行は,変更または追加された行である.
ただし,繰り返し処理「FOR K=A TO B ~ NEXT K
」において,A
がB
より大きい場合,この繰り返し処理は実行されず次の処理に進む.
〔プログラム2〕
100 INPUT PROMPT "N=":N
110 FOR D=2 TO N
111 FOR K=2 TO D-1
112 IF
THEN
113 NEXT K
120 LET C=0
130 LET M=N
140 FOR J=1 TO N
150 LET M=INT(M/D)
160 LET
170 IF
THEN GOTO 190
180 lNEXT J
190 PRINT "
素因数";D;"
は";C;"
個"
191 NEXT D
200 END
〔プログラム2〕の111
行から113
行までの処理は,D
が素数であるかどうかを判定するためのものである.に当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.
INT(D/K)=1
INT(D/K)>1
D=INT(D/K)*K
D<>INT(D/K)*K
GOTO 120
GOTO 130
GOTO 180
GOTO 190
GOTO 191
〔プログラム2〕を実行し,変数N
に26
を入力したとき,190
行は回実行される.回のうち,変数C
の値がとなるのは回である.