2014　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕　定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は$a+b+c=1\text{，}$$ab+bc+ca=-2\text{，}$$abc=-1$を満たすとする．

(1)　$a^2+b^2+c^2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=\boxed{\text{イ}}$である．

　次に，${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=\boxed{\text{イ}}$の両辺を$2$乗することで

${\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}=\boxed{\text{ウ}}$

であることがわかる．

(2)　$x$の$2$次式$A$を

$A={(ax-{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2+{(bx-{\displaystyle \frac{1}{b}})}^2+{(cx-{\displaystyle \frac{1}{c}})}^2$

とおく．

$A=\boxed{\text{エ}}{x}^2-\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

であり，$A=7$を満たす$x$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

【１】

〔２〕　$a$を定数とし，$x$の二つの不等式

$\{\begin{array}{ll}2x^2-2ax+2x+a^2-4a+2<0& \cdots \text{①}\\ |3x-2|<3& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

　不等式$\text{①}$を満たす実数$x$が存在するような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{サ}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}}<a<\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．

　$x=0$が不等式$\text{①}$を満たすような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{ス}}-\sqrt{\boxed{\text{セ}}}<a<\boxed{\text{ス}}+\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

である．

　不等式$\text{②}$を満たす整数$x$の個数は$\boxed{\text{ソ}}$個である．連立不等式$\text{①}\text{，}\text{②}$を満たす整数$x$が存在するような$a$の組の範囲は

$\boxed{\text{タ}}-\sqrt{\boxed{\text{チ}}}<a<\boxed{\text{ツ}}+\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$

である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とし，$a>0$とする．$x$の$2$次関数

$y=a{x}^2+bx+c$$\cdots \text{①}$

は，$x=-1$のとき$y=4\text{，}$$x=2$のとき$y=7$であるとする．$b\text{，}$$c$を$a$で表すと

$b=\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{ウエ}}a+\boxed{\text{オ}}$

である．$\text{①}$のグラフの頂点の座標を$(p,q)$とすると

$p={\displaystyle \frac{a-\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}a}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}{a}^2+\boxed{\text{コサ}}a-\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}a}}$

である．

(1)　$a=2$のとき，$\text{①}$のグラフを$x$軸方向に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}y$軸方向に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$だけ平行移動すると，$y=2x^2$のグラフに一致する．

(2)　$\text{①}$のグラフが$y$軸に関して対称になるとき，頂点の$y$座標は$\boxed{\text{ト}}$である．

(3)　関数$\text{①}$の最小値が$0$であるとすると

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}\pm \boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

である．

(4)　$1\leqq x\leqq 2$における関数$\text{①}$の最小値が$0$であるとすると

$a=\boxed{\text{ハ}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$とする．このとき，$\angle \mathrm{ABC}=\boxed{\text{アイ}}\mathrm{°}$であるから

$\cos \angle \mathrm{BCA}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BCA}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

　辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{BM}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり，$▵\mathrm{BCM}$の外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

　円$\mathrm{O}$上に$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$となるようにとる．

(1)　このとき

$\sin \angle \mathrm{BDC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}$$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

であり，$▵\mathrm{BDC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{BDC}$を底面とし$\mathrm{P}$を頂点とする三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{PBDC}$を考える．ただし，辺$\mathrm{PB}$は底面に垂直であり，$\mathrm{PB}=\sqrt{2}$とする．

　このとき，三角錐$\mathrm{PBDC}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$である．

　また，点$\mathrm{X}$が辺$\mathrm{CD}$上を動くとき，$▵\mathrm{PBX}$の面積の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【４】　正の実数$a={\displaystyle \frac{1+2\sqrt{5}}{8-3\sqrt{5}}}$の整数部分を$k\text{，}$小数部分を$b$とする．

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$であるから，$k=\boxed{\text{ウ}}$であり

$b=\boxed{\text{エオ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

である．

(2)　$a^2+b^2=\boxed{\text{キク}}$である．

(3)　$a^2-b^2=\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$である．

(4)　次の等式を満たす自然数$m\text{，}n$の値は$m=\boxed{\text{サ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{シ}}$である．

${\left({\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}\right)}^m+{\left({\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}\right)}^n=809$

【１】

〔２〕　実数$a\text{，}$$b$に関する条件$p\text{，}q$を次のように定める．

$p$：$|a+b|=\left|a\right|+b$

$q$：$a{b}^2\geqq 0$

(1)　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうち，$q$の否定$\bar{q}$と同値である条件は$\boxed{\text{サ}}$である．

　$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$a<0$
• $\overline{)\text{1}}$　$a<0$かつ$b<0$
• $\overline{)\text{2}}$　$a<0$または$b<0$
• $\overline{)\text{3}}$　$a<0$かつ$b\ne 0$
• $\overline{)\text{4}}$　$a<0$または$b\ne 0$

(2)　下の$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{2}}$　$=$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$
• $\overline{)\text{4}}$　$<$

(ⅰ)　$p$を満たす$a\text{，}b$について，$a+b\geqq 0$ならば$a\boxed{\text{シ}}0$である．

(ⅱ)　$p$を満たす$a\text{，}b$について，$a\geqq 0$ならば$a+b\boxed{\text{ス}}0$である．

(ⅲ)　$a+b<0$を満たす$a\text{，}b$について，$b\boxed{\text{セ}}0$であることと$p$を満たすことは同値である．

(3)　$p$は$q$であるための$\boxed{\text{ソ}}$．

　$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　十分条件であるが，必要条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　必要条件であるが，十分条件ではない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=8\text{，}$$\mathrm{BC}=12\text{，}$$\mathrm{CA}=10$を満たす三角形とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\sin \angle \mathrm{DBE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}\text{，}$$▵\mathrm{DBE}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．$▵\mathrm{DBE}$の内心を$\mathrm{I}$とする．

(1)　内接円$I$の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．円$I$と辺$\mathrm{BE}$の接点を$\mathrm{L}$とすると，$\mathrm{BL}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$であるので，$\mathrm{BI}=\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．

　三つの線分$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{CE}\text{，}$$\mathrm{DE}$すべてに接する円の中心を$\mathrm{J}$とする．円$J$と線分$\mathrm{CE}$との接点を$\mathrm{X}\text{，}$線分$\mathrm{DE}$との接点を$\mathrm{Y}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$との接点を$\mathrm{Z}$とする．

(2)　直線$\mathrm{BX}\text{，}$$\mathrm{BZ}$はともに点$\mathrm{B}$から円$J$に引いた接線であるので，$\mathrm{BX}=\mathrm{BZ}$である．これより$\mathrm{EX}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．$\angle \mathrm{JBE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\angle \mathrm{DBE}\text{，}$$\angle \mathrm{IBE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\angle \mathrm{DBE}$より$\mathrm{BJ}=\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$である．

(3)　$▵\mathrm{DBE}$を含む平面と垂直で，直線$\mathrm{BJ}$を含む平面を考え，この平面内にある円で，線分$\mathrm{BJ}$を直径とするものを$O$とする．この円$O$の円周上に点$\mathrm{K}$を，$\mathrm{BJ}$と$\mathrm{KI}$が直交するようにとると，$\mathrm{KI}=\boxed{\text{ヌ}}$となるので，三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{KBDE}$の体積は$\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$となる．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人がいる．また，「$\mathrm{A}$」と書かれた玉が$3$個，「$\mathrm{B}$」と書かれた玉が$2$個，「$\mathrm{C}$」と書かれた玉が$1$個ある．「$\mathrm{A}$」と書かれた玉の持ち主は$\mathrm{A}$で，「$\mathrm{B}$」と書かれた玉の持ち主は$\mathrm{B}$，「$\mathrm{C}$」と書かれた玉の持ち主は$\mathrm{C}$である．

(1)　全部の玉を一つの袋に入れておき，袋から$1$個の玉を取り出して，出た玉の持ち主を勝者とするゲームを考える．ゲームが$1$回終わるごとに，出た玉を袋に戻す．

(ⅰ)　ゲームを$4$回行うとき，勝者が順に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

(ⅱ)　ゲームを$4$回行うとき，$\mathrm{B}$が$2$回以上勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(ⅲ)　ゲームを$6$回行うとき，$\mathrm{A}$が$3$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$1$回勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

(2)　こんどは，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のうち$2$人の対戦を考える．$2$人の対戦では，対戦者$2$人が持つ玉だけを全部合わせて一つの袋に入れ，袋から$1$個の玉を取り出して，出た玉の持ち主を勝者とする．$1$回対戦が終わるごとに，すべての玉を持ち主に返す．

　優勝賞金を$60$万円用意して，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が$1$回ずつ対戦する「総当り戦」を行い，勝った回数が最も多い人が優勝賞金を受け取る．該当者が複数いる場合は，該当者の間で等分する．

(ⅰ)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が$20$万円ずつ受け取る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$が$20$万円以上受けとる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

(ⅲ)　$\mathrm{A}$が受けとる優勝賞金の期待値は$\boxed{\text{チツ}}$万円，$\mathrm{B}$が受けとる優勝賞金の期待値は$\boxed{\text{テト}}$万円，$\mathrm{C}$が受けとる優勝賞金の期待値は$\boxed{\text{ナ}}$万円である．