2014　大学入試センター試験　追試験験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

［１］　不等式

$4{\{{\log }_2(3-\sqrt{x})\}}^2+3{\log }_{\frac{1}{8}}{(3-\sqrt{x})}^2-2>0$$\cdots \text{①}$

を満たす$x$のとり得る値の範囲を求めよう．

　まず，真数は正であるから

$0\leqq x<\boxed{\text{ア}}$$\cdots \text{②}$

である．ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，$a$を底といい，$b$を真数という．

　$y={\log }_{\frac{1}{8}}{(3-\sqrt{x})}^2$とおくと，${\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^y={(3-\sqrt{x})}^2$である．$2$を底とする両辺の対数をとれば

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}{\log }_2(3-\sqrt{x})$

であることがわかる．

　よって，$X={\log }_2(3-\sqrt{x})$とおくと，$\text{①}$は

$\boxed{\text{エ}}{X}^2-X-1>0$$\cdots \text{③}$

と表すことができる．

　不等式$\text{③}$を解くと

$X<-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}$$X>\boxed{\text{カ}}$

となり，$X={\log }_2(3-\sqrt{x})$により

$3-\sqrt{x}<{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}$$3-\sqrt{x}>\boxed{\text{ケ}}$$\cdots \text{④}$

であることがわかる．$\text{②}$と$\text{④}$から，不等式$\text{①}$を満たす$x$のとり得る値の範囲は

$0\leqq x<\boxed{\text{コ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}-\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}<x<\boxed{\text{ア}}$

である．

【１】

［２］　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$として，$f(\theta )=8\sin \theta \cos \theta +6{\cos }^2\theta$とおく．

(1)　$2$倍角の公式と三角関数の合成を用いると

$\begin{array}{lll}f(\theta )& =\boxed{\text{ソ}}\sin 2\theta +\boxed{\text{タ}}(\cos 2\theta +1)& \\ & =\boxed{\text{チ}}\sin (2\theta +\alpha )+\boxed{\text{タ}}& \cdots \text{⑤}\end{array}$

となる．ただし，$\alpha$は

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}$$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}$$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

を満たすものとする．

　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$2\theta +\alpha$のとり得る値の範囲は

$\alpha \leqq 2\theta +\alpha \leqq \pi +\alpha$

であるから，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に注意すると，$\sin (2\theta +\alpha )$は，$\theta =\boxed{\text{ト}}$で最大値$1\text{，}$$\theta =\boxed{\text{ナ}}$で最小値$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$をとることがわかる．ただし，$\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\boxed{\text{ナ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．

　以上のことから，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$f(\theta )$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{ネ}}\leqq f(\theta )\leqq \boxed{\text{ノ}}$である．

(2)　$f(\theta )=6\text{，}0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\theta$を求めよう．$\text{⑤}$を用いると，$f(\theta )=6$から

$\sin (2\theta +\alpha )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

である．ここで，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$と，すべての$x$について$\sin (\pi -x)=\boxed{\text{フ}}$であることに注意すると，求める$\theta$は$\boxed{\text{ヘ}}$と$\boxed{\text{ホ}}$であることがわかる．ただし，$\boxed{\text{フ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\cos x$
• $\overline{)\text{1}}$　$-\cos x$
• $\overline{)\text{2}}$　$\sin x$
• $\overline{)\text{3}}$　$-\sin x$

また，$\boxed{\text{ヘ}}\text{，}$$\boxed{\text{ホ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．$\boxed{\text{ヘ}}$と$\boxed{\text{ホ}}$は解答の順序を問わない．

【２】　座標平面上で，放物線$y=2x^2$を$C$とし，放物線$y=-{(x-p)}^2+2$を$D$とする．$C$と$D$は異なる$2$点で交わるとし，交点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）とする．

(1)　整式$2x^2$と$-{(x-p)}^2+2$の差を$f(x)$とおくと

$f(x)=3x^2-\boxed{\text{ア}}px+p^{\boxed{\text{イ}}}-2$

であり，$\alpha$と$\beta$は$2$次方程式$f(x)=0$の実数解である．$C$と$D$が異なる$2$点で交わることから，$p$のとり得る値の範囲は

$-\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}<p<\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

である．このとき，$\alpha +\beta$と$\beta -\alpha$は$p$を用いて

$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}p\text{，}$$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}-2p^2}}{\boxed{\text{オ}}}}$$\cdots \text{①}$

と表される．

(2)　$-1<p<1$のとき，二つの放物線$C\text{，}$$D$で囲まれた部分の面積を$S$とする．また，直線$x=-1$と放物線$C\text{，}$$D$で囲まれた部分の面積を$T_1$とし，直線$x=1$と放物線$C\text{，}$$D$で囲まれた部分の面積を$T_2$とする．$-1<\alpha <\beta <1$であるので，$T_1={\displaystyle {\int }_{-1}^{\alpha }}f(x)dx\text{，}$$T_2={\displaystyle {\int }_{\beta }^1}f(x)dx$と表される．$p$が$-1<p<1$の範囲を動くとき，$S+T_1+T_2$が最小になるときの$p$の値を求めよう．

　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx$の値は$p$を用いて

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=\boxed{\text{ク}}{p}^2-\boxed{\text{ケ}}$

と表される．さらに，定積分の性質により

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=\boxed{\text{コ}}$

が成り立つ．$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$T_1+T_2-S$
• $\overline{)\text{1}}$　$T_1+T_2+S$
• $\overline{)\text{2}}$　$S-T_1-T_2$
• $\overline{)\text{3}}$　$T_1+T_2+2S$

　また，$\text{①}$により，$S$は$p$を用いて

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}(\boxed{\text{セ}}-p^2)\sqrt{\boxed{\text{ソ}}-2p^2}$

と表される．

　そこで，$q=\sqrt{\boxed{\text{ソ}}-2p^2}$とおいて，$S+T_1+T_2$を$q$を用いて表すと

$S+T_1+T_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}{q}^3-q^2+\boxed{\text{テ}}$

となる．

　$-1<p<1$のとき，$q$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{ト}}<q\leqq \sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．$q$がこの範囲を動くときの$S+T_1+T_2$の値の増減を調べることにより，$S+T_1+T_2$は$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のとき，すなわち，$p=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$のとき，最小になることがわかる．

【３】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_{\mathrm{O}}$と，点$\mathrm{A}(a,0)$を中心とする円$C_{\mathrm{A}}$が外接している．ただし，$a>1$とする．また，第$1$象限の点$\mathrm{B}$を中心とする半径$1$の円$C_{\mathrm{B}}$が円$C_{\mathrm{O}}\text{，}$$C_{\mathrm{A}}$と外接している．

　このとき，三つの円$C_{\mathrm{O}}\text{，}$$C_{\mathrm{A}}\text{，}$$C_{\mathrm{B}}$の中心を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$について考えよう．

(1)　$\mathrm{OB}=\boxed{\text{ア}}$であるから，三角形$\mathrm{OAB}$が正三角形になるとき，$a$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形になるとき，$\boxed{\text{ウ}}=90\mathrm{°}\text{，}a=\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ウ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\angle \mathrm{AOB}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\angle \mathrm{OAB}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\angle \mathrm{OAB}$

(3)　円$C_{\mathrm{B}}$の中心$\mathrm{B}$の座標を$(p,q)$とおくと，円$C_{\mathrm{B}}$と$C_{\mathrm{O}}$が外接することから

$p^2+q^2=\boxed{\text{オ}}$$\cdots \text{①}$

である．

　また，円$C_{\mathrm{A}}$の半径は，$a$を用いて，$a-\boxed{\text{カ}}$と表され，円$C_{\mathrm{B}}$と$C_{\mathrm{A}}$が外接することから

${(p-\boxed{\text{キ}})}^2+q^2=a^{\boxed{\text{ク}}}$$\cdots \text{②}$

である．

　円$C_{\mathrm{B}}$の中心$\mathrm{B}$が第$1$象限にあることから，$\text{①}$と$\text{②}$により，$p$と$q$は，$a$を用いて

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{a}}\sqrt{a^2-\boxed{\text{シ}}}$

と表される．

(4)　三角形$\mathrm{OAB}$の外接円（頂点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る円）の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とすると，$n=\boxed{\text{ス}}$であり，$l$と$m$は，$a$を用いて

$l=\boxed{\text{セソ}}\text{，}$$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{a^2-\boxed{\text{チ}}}}{a^2-\boxed{\text{チ}}}}$

と表される．

【４】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数として，多項式

$P(x)=x^4+p{x}^2+qx+r$

を考える．

　$4$次方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i\text{，}$$2-i$をもち，さらに，少なくとも一つの正の実数解をもつとき，$p$のとり得る値の範囲を求めよう．

(1)　$P(x)$に$x=2+i$を代入すると

$P(2+i)=\boxed{\text{ア}}p+\boxed{\text{イ}}q+r-\boxed{\text{ウ}}$

$+(\boxed{\text{エ}}p+q+\boxed{\text{オカ}})i$

である．$P(2+i)=0$であるから，$q$と$r$は，$p$を用いて

$p=-\boxed{\text{キ}}(p+\boxed{\text{ク}})\text{，}$$r=\boxed{\text{ケ}}(p+\boxed{\text{コサ}})$

と表すことができる．したがって

$P(x)=x^4+p{x}^2-\boxed{\text{キ}}(p+\boxed{\text{ク}})x$$+\boxed{\text{ケ}}(p+\boxed{\text{コサ}})\cdots \text{①}$

となる．

(2)　$2+i\text{，}$$2-i$を解とする$2$次方程式は

$x^2-\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}=0$

である．ここで，$a\text{，}$$b$を実数として，$2$次式の積

$Q(x)=(x^2-\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}})(x^2+ax+b)$

を考える．$Q(x)$を展開して$\text{①}$と比較すると，$a=\boxed{\text{セ}}\text{，}$$b=p+\boxed{\text{ソタ}}$のとき，$P(x)=Q(x)$が成り立つことがわかる．

　したがって，$P(x)$因数分解

$P(x)$$=(x^2-\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}})(x^2+\boxed{\text{セ}}x+p+\boxed{\text{ソタ}})$

が得られる．$x^2-\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}=0$の解は$2+i\text{，}$$2-i$であるから，$P(x)=0$の実数解は$2$次方程式$x^2+\boxed{\text{セ}}x+p+\boxed{\text{ソタ}}=0$の解である．$x^2+\boxed{\text{セ}}x+p+\boxed{\text{ソタ}}=0$が実数解をもつときの$p$のとり得る値の範囲は$p\leqq \boxed{\text{チツ}}$であり，その実数解は

$\boxed{\text{テト}}\pm \sqrt{\boxed{\text{チツ}}-p}$

である．

　以上のことにより，方程式$P(x)=0$が少なくとも一つの正の実数解をもつときの$p$のとり得る値の範囲は$p<\boxed{\text{ナニヌ}}$である．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})a_n+3n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{①}$

で定める．$\{a_n\}$の一般項を求めよう．まず，$a_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$a_3=\boxed{\text{イウ}}\text{，}$$a_4=\boxed{\text{エオ}}$であることにより，$\{a_n\}$の一般項は

$a_n=\boxed{\text{カ}}$$\cdots \text{②}$

と推定できる．$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　$\text{②}$の推定が正しいことを，数学的帰納法によって証明しよう．

[Ⅰ]　$n=1$のとき，$a_1=4$により$\text{②}$が成り立つ．

[Ⅱ]　$n=k$のとき，$\text{②}$が成り立つと仮定すると，$\text{①}$により

$a_{k+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}(1+{\displaystyle \frac{1}{k}})a_k+3k+3=\boxed{\text{キ}}$

である．よって，$n=\boxed{\text{ク}}$のときも$\text{②}$が成り立つ．

[Ⅰ]，[Ⅱ]により$\text{②}$はすべての自然数$n$について成り立つ．

　$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると

$S_n=\boxed{\text{ケ}}{n}^2+\boxed{\text{コ}}n\cdots \text{③}$

である．

　次に，$\{a_n\}$と同じ漸化式を満たし，初項が異なる数列$\{b_n\}$を

$b_1=7\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})b_n+3n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{④}$

で定める．$\{b_n\}$の一般項を求めよう．$\text{①}$と$\text{④}$により，すべての自然数$n$に対して$b_{n+1}-a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})(b_n-a_n)$である．

$c_n={\displaystyle \frac{b_n-a_n}{n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{⑤}$

とおくと，数列$\{c_n\}$は，初項$\boxed{\text{サ}}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$の等比数列であるから，一般項は，$c_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{{\boxed{\text{ソ}}}^{\boxed{\text{タ}}}}}$となる．ただし，$\boxed{\text{タ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$から一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$n$
• $\overline{)\text{1}}$　$n-1$
• $\overline{)\text{2}}$　$n+1$
• $\overline{)\text{3}}$　$n-2$
• $\overline{)\text{4}}$　$n+2$

したがって，$\text{②}$と$\text{⑤}$により$b_n=\boxed{\text{カ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}n}{{\boxed{\text{ソ}}}^{\boxed{\text{タ}}}}}$が成り立つ．

　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．$\text{⑤}$により$b_n=a_n+n{c}_n$であるから，$T_n=S_n+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{c}_k$である．$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{c}_k$とおくと

$U_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}{U}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{{\boxed{\text{ソ}}}^{k-1}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}n}{{\boxed{\text{ソ}}}^n}}$

となり

$U_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}n+\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ナ}}\cdot {\boxed{\text{ネ}}}^{n-1}}}$

が成り立つ．$T_n=S_n+U_n$と$\text{③}$と$\text{⑥}$により，$T_n$を得ることができる．

【４】　平面上に，$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$と，その外側に三角形$\mathrm{OAB}$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$とする．$0<t<1$とし，線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{CB}$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．以下では，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2=\boxed{\text{ア}}$により，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．また，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は平行であり，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\boxed{\text{エ}}$により，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$である．

　次に，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$t$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと

$\begin{array}{ll}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}-t}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{b}& \cdots \text{①}\\ \overrightarrow{\mathrm{PR}}={\displaystyle \frac{1-\boxed{\text{ケ}}t}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}-t}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{b}& \cdots \text{②}\end{array}$

である．

(2)　$0<t<1$の範囲において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$の最小値を求めよう．点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{CD}$に引いた垂線と線分$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{T}$とする．三角形$\mathrm{PTQ}$と三角形$\mathrm{PTR}$の面積の和は$S$に等しいから，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\mathrm{PT}$である．これにより，$\mathrm{PT}$が最小になるときを考えればよいことがわかる．

　まず，$\mathrm{QT}:\mathrm{TR}=(1-t):\boxed{\text{ス}}$であるから

$\overrightarrow{\mathrm{PT}}=\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\boxed{\text{ソ}}\overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdots \text{③}$

である．$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

したがって，$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$により

$\overrightarrow{\mathrm{PT}}=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}{t}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}t+{\displaystyle \frac{3}{4}})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

となる．よって，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$のとき，$\mathrm{PT}$は最小になり，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$である．

【５】　ある自動車の$4$月$21$日から$4$月$30$日までの毎日の走行距離とガソリンの消費量を調べたところ，次のデータが得られた．ただし，表の数値はすべて正確な値であり，四捨五入されていないものとする．

　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　この自動車の$4$月$21$日から$4$月$30$日までの走行距離の平均値 A は$\boxed{\text{アイ}}.\boxed{\text{ウエ}}\mathrm{km}$である．また，ガソリンの消費量の分散 B の値は$\boxed{\text{オ}}.\boxed{\text{カキク}}$であり，中央値は$\boxed{\text{ケ}}.\boxed{\text{コサ}}$リットルである．

(2)　走行距離とガソリンの消費量の相関図（散布図）として適切なものは$\boxed{\text{シ}}$であり，相関係数の値は$\boxed{\text{ス}}.\boxed{\text{セソタ}}$である．ただし，$\boxed{\text{シ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

(3)　さらに，同じ自動車について，$5$月$1$日から$5$月$6$日までの毎日の走行距離とガソリンの消費量を調べたところ，次のデータが得られた．ただし，表の数値はすべて正確な値であり，四捨五入されていないものとする．

　$5$月$1$日から$5$月$6$日までの$6$日間の走行距離とガソリンの消費量の相関係数の値は$0.750$である．また，$4$月$21$日から$5$月$6$日までの$16$日間の走行距離とガソリンの消費量の相関係数の値を$r$とする．$16$日間の相関図を考えることにより，$\boxed{\text{チ}}$である．$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$r<-1$
• $\overline{)\text{1}}$　$r=-1$
• $\overline{)\text{2}}$　$-1<r<0$
• $\overline{)\text{3}}$　$r=0$
• $\overline{)\text{4}}$　$0<r<t$
• $\overline{)\text{5}}$　$r=1$
• $\overline{)\text{6}}$　$r>1$

　次に，この自動車の$4$月$21$日から$5$月$6$日までの$16$日間の走行距離の平均値と分散の値について考えよう．$16$日間の平均値を$M$とするとき，$M$は$\boxed{\text{ツテ}}.\boxed{\text{トナ}}\mathrm{km}$である．

　$4$月$21$日から$4$月$30$日までの走行距離を順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_{10}$とおき，これらの平均値を$m\text{，}$分散の値を$s^2$とする．また

$T={(x_1-M)}^2+{(x_2-M)}^2+\cdots +{(x_{10}-M)}^2$

を考える．$k$を$1$から$10$までの自然数として，${(x_{10}-M)}^2$は

$\begin{array}{ll}{(x_k-M)}^2& ={\{(x_k-m)+(m-M)\}}^2\\ & ={(x_k-m)}^2+2(x_k-m)(m-M)+{(m-M)}^2\end{array}$

と変形できるから

$T=\boxed{\text{ニ}}$

と表すことができる．$\boxed{\text{ニ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$10s^2+10{(m-M)}^2$
• $\overline{)\text{1}}$　$20s^2+10{(m-M)}^2$
• $\overline{)\text{2}}$　$10s^2+20{(m-M)}^2$
• $\overline{)\text{3}}$　$20s^2+20{(m-M)}^2$

したがって，$T=\boxed{\text{ヌネ}}.\boxed{\text{ノハ}}$である．さらに，$5$月$1$日から$5$月$6$日までの走行距離についても，同様の計算を行うことにより，$16$日間の走行距離の分散の値は$\boxed{\text{ヒ}}.\boxed{\text{フヘ}}$であることがわかる．

【６】　$p$を$2$以上の自然数とする．$0$以上$p-1$以下の整数$a$に対して，数の列$b_1\text{，}$$b_2\text{，}\cdots \text{，}$$b_{p+1}$を次のように定める．

・　$b_1$は$a$とする．

・　$b_{k+1}$は$a\times b_k+1$を$p$で割った余りとする．ただし，$k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$p$である．

さらに，$b_1\text{，}$$b_2\text{，}\cdots \text{，}$$b_{p+1}$を用いて，$f(a)$を次のように定める．

・　$b_k=a$となる$k$が$2\leqq k\leqq p+1$の範囲にあるときは，そのような$k$の最小値を$f(a)$とする．

・　$b_k=a$となる$k$が$2\leqq k\leqq p+1$の範囲にないときは，$f(a)=0$とする．

　もし$f(a)=p+1$ならば，$b_1\text{，}$$b_2\text{，}\cdots \text{，}$$b_p$はすべて異なり，$0$以上$p-1$以下の$p$個の整数が$1$回ずつ現れる．$p$を入力して，$a=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$p-1$に対して$f(a)$の値を出力するプログラムを考えよう．

(1)　$p=5\text{，}$$a=3$としたとき，$b_1=3$であり，$b_2$は$3\times 3+1=10$を$5$で割った余りであるので，$b_2=0$である．$b_3$は$3\times 0+1=1$を$5$で割った余りであるので，$b_3=1$である．同様にして，$b_4=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b_5=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$b_6=0$となる．したがって，$f(3)$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であることがわかる．

(2)　$2$以上のどのような自然数$p$に対しても，$f(0)$の値は$\boxed{\text{エ}}$であり，$f(1)$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$0$
• $\overline{)\text{1}}$　$1$
• $\overline{)\text{2}}$　$2$
• $\overline{)\text{3}}$　 $p-1$
• $\overline{)\text{4}}$　$p$
• $\overline{)\text{5}}$　$p+1$

(3)　$2$以上の自然数$p$を入力して$f(0)\text{，}$$f(1)\text{，}\cdots \text{，}$$f(p-1)$の値を出力する〔プログラム１〕を作成した．ただし，INT (X) は X を超えない最大の整数を表す関数である．

〔プログラム１〕

100 INPUT PROMPT "P=";P

110 FOR A=0 TO P - 1

120  LET B= $\boxed{\text{カ}}$

130  FOR K=2 TO P + 1

140   LET B= $\boxed{\text{キ}}$

150   IF B=A THEN

160    PRINT "f(";A;")=";$\boxed{\text{ク}}$

170    GOTO 210

180   END IF

190  NEXT K

200  PRINT "f(";A;")=0"

210 NEXT A

220 END

　〔プログラム１〕の$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　0
• $\overline{)\text{1}}$　1
• $\overline{)\text{2}}$　A
• $\overline{)\text{3}}$　B
• $\overline{)\text{4}}$　K
• $\overline{)\text{5}}$　P

　$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　(B+1)-INT(B+1)/P)*P
• $\overline{)\text{1}}$　(B+1)-INT(B+1)/P)*A
• $\overline{)\text{2}}$　(A*B+1)-INT(A*B+1)/P)*P
• $\overline{)\text{3}}$　(A*B+1)-INT(A*B+1)/A)*A
• $\overline{)\text{4}}$　(A+1)-INT(A+1)/P)*B
• $\overline{)\text{5}}$　(A+1)-INT(A+1)/P)*P

(4)　〔プログラム１〕を実行し，変数 P に 9 を入力したとき，出力されるf(0)，f(1)，$\text{⋯，}$f(8)のうち，f(2)，f(3)，$\text{⋯，}$f(8)の値は，次のようになる．

f(2)=3

f(3)=0

f(4)=$\boxed{\text{ケ}}$

f(5)=$\boxed{\text{コ}}$

f(6)=$\boxed{\text{サ}}$

f(7)=10

f(8)=3

　$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{b}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　0
• $\overline{)\text{1}}$　1
• $\overline{)\text{2}}$　2
• $\overline{)\text{3}}$　3
• $\overline{)\text{4}}$　4
• $\overline{)\text{5}}$　5
• $\overline{)\text{6}}$　6
• $\overline{)\text{7}}$　7
• $\overline{)\text{8}}$　8
• $\overline{)\text{9}}$　9
• $\overline{)\text{a}}$　10
• $\overline{)\text{b}}$　11

(5)　$2$以上の自然数$p$に対して，$a$を$0$以上$p-1$以下の整数とするとき，$f(a)=p+1$である$a$の個数を求めたい．そのために，〔プログラム１〕を変更して〔プログラム２〕を作成した．ただし，行番号に下線が引かれた行は，追加された行である．

〔プログラム２〕

100 INPUT PROMPT "P=":P

105 LET C=0

110 FOR A=0 TO P-1

120  LET B=$\boxed{\text{カ}}$

130  FOR K=2 TO P+1

140   LET B=$\boxed{\text{キ}}$

150   IF B=A THEN

160    PRINT "f("A;")=";$\boxed{\text{ク}}$

165    IF$\boxed{\text{シ}}$THEN LET C=C+1

170    GOTO 210

180   END IF

190  NEXT K

200  PRINT "f(";A;")=0"

210 NEXT A

215 PRINT "個数は";C;"個である"

220 END

　〔プログラム２〕の$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　A=P+1
• $\overline{)\text{1}}$　B=P+1
• $\overline{)\text{2}}$　C=P+1
• $\overline{)\text{3}}$　K=P+1

　〔プログラム２〕を実行し，変数 P に 9 を入力したとき，215 行で出力される変数 C の値は$\boxed{\text{ス}}$である．