2014 旭川医科大学 前期

Mathematics

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2014 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=log (1 +x2 ) について,次の問いに答えよ.

問1  01log (1 +x2 )d x を求めよ.

問2 導関数 f ( x) の増減を調べ, y=f (x ) のグラフの概形をかけ.

問3 曲線 C y=f (x ) と曲線 C の互いに直交している 2 本の接線とで囲まれる図形の面積 S を求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【2】  0<a π2 とし,曲線 y =1-cos x 0x a C とする.

0<t <a とし,原点と C 上の点 ( t,1- cost ) を通る直線を l とおくとき,次の問いに答えよ.

問1 曲線 C と直線 l とで囲まれた部分の面積を S1 (t ) t xa の範囲で C l と直線 x =a とで囲まれた部分の面積を S2 (t ) とおくとき, S1 (t )+ S2 (t ) を求めよ.

問2  S1 (t )+ S2 (t ) を最小とする t の値を t 0 とするとき, t0 a を用いて表せ.

問3  lima +0 S1 (t 0) -S2 ( t0) a3 を求めよ.

 ただし, a- a33 !< sina< a- a33 !+ a 55! a>0 は用いてよい.

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【3】  a を正の定数とする. AB=a AC=2 a BAC= 23 π である ABC と, |2 AP -2 BP -CP |= a を満たす動点 P がある.このとき,次の問いに答えよ.

問1 辺 BC 1 :2 に内分する点を D とするとき, |AD | を求めよ.

問2  |AP | の最大値を求めよ.

問3 線分 AP が通過してできる図形の面積 S を求めよ.

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【4】 一列に並んだ 3 つの部屋 A B C があり, 2 頭の象がいる. 2 頭の象は毎日 1 つの部屋から隣の部屋に,次のルールに従って移動する.

  0<p <1 とし,象が部屋 A と部屋 B にいるとき,部屋 A にいる象は部屋 A に留まり,部屋 B にいる象が確率 p で部屋 C に移る.象が部屋 B と部屋 C にいるとき,部屋 C にいる象は部屋 C に留まり,部屋 B にいる象が確率 1 -p で部屋 A に移る.象が部屋 A と部屋 C にいるとき,部屋 A にいる象が確率 p で部屋 B に移り,移らない場合は部屋 C にいる象が部屋 B に移る. 2 頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない.

 はじめに 2 頭の象はそれぞれ部屋 A と部屋 B にいるものとし, 2n 日後に象が部屋 A にいる確率を a n n=1 2 とおく.このとき,次の問いに答えよ.

問1  a1 を求めよ.

問2  an+ 1 a n を用いて表せ.

問3  p= 23 のとき, an を求めよ.

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