2014 浜松医科大学 前期医学部

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2014 浜松医科大学 前期

医学科

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】  p を正の実数として,放物線 C y2 =4 px を定める. C の頂点を O 焦点を F 準線を l x=- p とする. C 上の 2 A ( a,2 pa a>0 B ( b,- 2p b) b>0 を考えるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  A における C の接線を l ( A ) とし, l( A ) と準線 l との交点を P とする. l( A ) の方程式をかいて, P の座標を求めよ.また,線分 AP の長さは線分 AF の長さより大きいことを示せ.

(2) 接線 l ( A ) が直線 AB A において直交するとき, b a p を用いて表せ.また a 0 <a< の範囲内を動くとき, b の最小値を求めよ.

 以下(2)の最小値を実現する C 上の 2 点を A0 B 0 とし,接線 l ( A0 ) と準線 l の交点を P0 とする.

(3) 直線 OA 0 と直線 P0 B0 O において直交することを示せ.

(4)  A0 OB0 の面積を S 線分 A0 B0 C で囲まれた図形の面積を T とするとき,比 S :T を求めよ.

2014 浜松医科大学 前期

医学科

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )= 3 3 sinx - 1 cosx (0< |x |< π 2 ) を考える.以下の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) の増減表を作成し,極値を求めよ.

(2)  f( x) の第 2 次導関数 f ( x) は, 3 次式 P (t )=t (2 t2 -1 ) を用いて,

f (x) =3 3P ( 1 sinx ) -P ( 1 cosx )

と表されることを示せ.また, 0<x 1<x 2< π 2 のとき f ( x1) >f (x2 ) となることを示せ.

(3)  k を定数とするとき,方程式 f (x )=k の異なる実数解は何個あるか. k の値によって分類せよ.

(4)  y=f (x ) の変曲点はただ 1 つ存在することを示せ.また,この変曲点が第何象限にあるか,調べよ.

2014 浜松医科大学 前期

医学科

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】(1)  r は自然数, n r より大きい整数とする. 2 項係数 Cr k +r k=0 1 n-r の次の等式を示せ.

k=0 n-r C r+1 k +r =Cr +1 n +1

以下整数 n n 2 に対し,次の確率分布に従う確率変数 X を考える.

P( X=k) = C1 k +1 C2 n +1 k=0 1 n-1

(2)  X の期待値 μn= E( X) を求めよ.また, P( Xm ) 12 を満たす最大の整数 m M n とするとき,極限値 limn Mn μn を求めよ.

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