2014 滋賀大学 前期

Mathematics

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2014 滋賀大学 前期

経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【1】  m を正の定数とし,放物線 C y= x2 上に点 P ( a,a2 ) をとる.ただし, m 2<a <m とする. P を通り傾きが m の直線を l1 P を通り傾きが 2 m の直線を l 2 とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  C l 1 で囲まれた図形の面積を S1 C l 2 で囲まれた図形の面積を S 2 とする. S1 S 2 a m を用いて表せ.

(2)  S1 S 2 8 倍となるとき, a m を用いて表せ.

(3)  a を変化させたとき, S1 +S2 の最小値とそのときの a の値を m を用いて表せ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【2】  2 つの数列 { an } { bn } を以下のように定める.

a1= a a 2n =a2 n-1 +d a2 n+1 =r a2 n n= 1 2 3

b1 =a b 2n =r b2n -1 b2 n+1 =b 2n +d n=1 2 3

ただし, a0 r0 r1 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a=3 d=1 r=2 のとき, b9 を求めよ.

(2) 数学的帰納法を用いて,すべての自然数 n に対して次が成り立つことを示せ.

a2 n=a rn -1+ d (r n-1) r-1

(3) すべての自然数 n に対して b2n +1- a2 n= 25 arn が成り立つとき, r の値を求めよ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【3】 次のようなゲームを行い, A B C 3 人の中から 1 人の勝者を決める.赤玉 3 個,白玉 5 個,黒玉 7 個が入った袋から 4 個の玉を同時に取り出し,もっとも多く取り出された玉が赤玉ならば A 白玉ならば B 黒玉ならば C の勝ちとする.ただし,赤玉と白玉が 2 個ずつ,あるいは赤玉と黒玉が 2 個ずつ取り出されたときは A の勝ち,白玉と黒玉が 2 個ずつ取り出されたときは B の勝ちとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 取り出された 4 個の玉が,赤玉 1 個,白玉 1 個,黒玉 2 個である確率を求めよ.

(2) このゲームを 1 回行ったとき, A B C が勝つ確率 pA p B pC をそれぞれ求めよ.

(3) このゲームを 6 回繰り返し行ったとき, A 1 回, B 2 回, C 3 回勝つ確率を pA pB pC を用いて表せ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【4】  k を正の定数とする.円 C x2 +y2 -4x -2y +1=0 と共有点をもたない直線 l y=- 12 x+k について,次の問いに答えよ.

(1)  k のとりうる値の範囲を求めよ.

(2)  l 上の 2 A B の座標をそれぞれ ( 2,k- 1) ( 2k- 2,1 ) とする.点 P C 上を動くとき, PAB の重心 Q の軌跡を求めよ.

(3) (2)で求めた Q の軌跡と C がただ 1 つの共有点をもつとき, k の値を求めよ.

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