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2014 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an }

{ a1 =1 a n+1 -an =an (5 -an +1 ) n=1 2 3

を満たしているとき,以下の問いに答えよ.

(1)  n に関する数学的帰納法で, an >0 であることを証明せよ.

(2)  bn =1 an とおくとき, bn+ 1 b n を用いて表せ.

(3)  an を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【2】 四面体 OABC において, AB の中点を P PC の中点を Q OQ m:n に内分する点を R とする.ただし, m>0 n>0 とする.さらに直線 AR が平面 OBC と交わる点を S とする. a =OA b =OB c =OC とおいて以下の問いに答えよ.

(1)  OP OQ a b c を用いて表せ.

(2)  OR OS a b c m n を用いて表せ.

(3)  AR RS m n を用いて表せ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【3】 関数 f (x )

f( x)= [x] +2( x-[ x]) -(x -[x ]) 2

と定める.ここで, [x ] n x を満たす最大の整数 n を表す.

(1)  f( x) x であることを示せ.

(2)  f( x+1) =f( x)+ 1 であることを示せ.

(3)  0x 2 において y =f( x) のグラフを描け.

(4)  0a <1 とするとき, aa+1 f (x )d x を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【4】  A B が続けて試合を行い,先に 3 勝した方が優勝するというゲームを考える. 1 試合ごとに A が勝つ確率を p B が勝つ確率を q 引き分ける確率を 1 -p-q とする.

(1)  3 試合目で優勝が決まる確率を求めよ.

(2)  5 試合目で優勝が決まる確率を求めよ.

(3)  p=q= 13 としたとき, 5 試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ.

(4)  p=q= 12 としたとき,優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

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【1】  n 3 以上の整数とし, a b c 1 以上 n 以下の整数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a<b <c となる a b c の組は何通りあるか.

(2)  ab c となる a b c の組は何通りあるか.

(3)  a<b かつ a c となる a b c の組は何通りあるか.

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数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

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【2】(1) すべての実数 x y に対して x2+ y2+2 ax y+2 bx +10 が成り立つとする.このとき,実数 a b が満たすべき条件を求め,その条件を満たす点 ( a,b ) のなす領域を座標平面上に図示せよ.

(2) (1)の領域を点 ( a,b ) が動くとき a2+ b の最大値と最小値を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

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【3】 座標平面において,行列 A =( 10 23 ) の表す一次変換を f とする.

(1)  0θ <2π のとき,点 P ( 2+cos θ,sin θ) f で移した点 Q の座標を求めよ.

(2) 不等式 a1 xa2 b1 y b2 の表す領域を T とする. 0θ <2π を満たすすべての θ に対して,(1)で求めた点 Q が領域 T に入るとする. T の面積が最小となるときの a1 a 2 b 1 b2 を求めよ.

(3) 不等式 (x -2) 2+ (y -4) 2 r2 の表す領域を H とする. 0θ <2 π を満たすすべての θ に対して,(1)で求めた点 Q が領域 H に入るとする.このとき,正の数 r の最小値を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

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2014年岡山大前期理系【4】の図

【4】 三角形 ABC において, AB=BC= 2 CA =1 とする. 0x 1 を満たす x に対して,辺 BC の延長上に点 P を,辺 CA 上に点 Q を,それぞれ CP =AQ=x となるようにとる.さらに,直線 PQ と辺 AB の交点を R とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  AR x の関数として表せ.

(2) (1)の関数を f (x ) とおくとき, 01 f( x) dx を求めよ.



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