2015　大学入試センター試験　本試験　新旧数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$k\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．$x$の$4$次式

$x^4+5x^3+6x^2+kx-8$

は

$(x^2+ax+4)(x^2+bx-c)$

と因数分解されているとする．

(1)　$c=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$a<b$ならば，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウ}}$であり，このとき$k=\boxed{\text{エオ}}$となる．

　$a\geqq b$ならば，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{キ}}$であり，このとき$k=\boxed{\text{クケ}}$となる．

(3)　$(x^2+ax+4)(x^2+bx-c)=0$を満たす正の実数$x$は，$a<b$のときは$\boxed{\text{コサ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$であり，$a\geqq b$のときは$\boxed{\text{ス}}$である．

【１】

［２］　条件${\mathrm{p}}_1\text{，}$${\mathrm{p}}_2\text{，}$${\mathrm{q}}_1\text{，}$${\mathrm{q}}_2$の否定をそれぞれ$\overline{{\mathrm{p}}_1}\text{，}$$\overline{{\mathrm{p}}_2}\text{，}$$\overline{{\mathrm{q}}_1}\text{，}$$\overline{{\mathrm{q}}_2}$と書く．

(1)　次の$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

命題「$({\mathrm{p}}_1\text{かつ}{\mathrm{p}}_2)⟹({\mathrm{q}}_1\text{かつ}{\mathrm{q}}_2)$」の対偶は$\boxed{\text{セ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　$(\overline{{\mathrm{p}}_1}\text{または}\overline{{\mathrm{p}}_2})⟹(\overline{{\mathrm{q}}_1}\text{または}\overline{{\mathrm{q}}_2})$

$\overline{)\text{1}}$　$(\overline{{\mathrm{q}}_1}\text{または}\overline{{\mathrm{q}}_2})⟹(\overline{{\mathrm{p}}_1}\text{または}\overline{{\mathrm{p}}_2})$

$\overline{)\text{2}}$　$(\overline{{\mathrm{q}}_1}\text{かつ}\overline{{\mathrm{q}}_2})⟹(\overline{{\mathrm{p}}_1}\text{かつ}\overline{{\mathrm{p}}_2})$

$\overline{)\text{3}}$　$(\overline{{\mathrm{p}}_1}\text{かつ}\overline{{\mathrm{p}}_2})⟹(\overline{{\mathrm{q}}_1}\text{かつ}\overline{{\mathrm{q}}_2})$

(2)　自然数$n$に対する条件${\mathrm{p}}_1\text{，}$${\mathrm{p}}_2\text{，}$${\mathrm{q}}_1\text{，}$${\mathrm{q}}_2$を次のように定める．

${\mathrm{p}}_1$：$n$は素数である

${\mathrm{p}}_2$：$n+2$は素数である

${\mathrm{q}}_1$：$n+1$は$5$の倍数である

${\mathrm{q}}_2$：$n+1$は$6$の倍数である

　$30$以下の自然数$n$のなかで$\boxed{\text{ソ}}$と$\boxed{\text{タチ}}$は

命題「$({\mathrm{p}}_1\text{かつ}{\mathrm{p}}_2)⟹(\overline{{\mathrm{q}}_1}\text{かつ}{\mathrm{q}}_2)$」

の反例となる．

【２】　$2$次関数

$y=-x^2+2x+2$$\cdots$①

のグラフの頂点の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．また

$y=f(x)$$\cdots$②

は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，①のグラフを$x$軸方向に$p\text{，}$$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．

(1)　下の$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$<$
• $\overline{)\text{2}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$
• $\overline{)\text{4}}$　$\ne$

　$2\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は

$p\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}$

であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は

$p\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}$

である．

(2)　②のグラフが点$(-2,0)$を通るとき

$q=p^2+\boxed{\text{キ}}p+\boxed{\text{ク}}\text{，}$

$f(x)=-(x+\boxed{\text{ケ}})(x-\boxed{\text{コ}}p-\boxed{\text{サ}})$

である．

(3)　$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

のときである．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{23}$とし，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$\mathrm{AD}=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．

　点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，点$\mathrm{E}$は辺$\mathrm{AB}$の$\mathrm{A}$のが側の延長上にあり

$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{DAE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

　さらに直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき

$\mathrm{AF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}$$\mathrm{BF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タチツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

となり，$▵\mathrm{ABF}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナニヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である． また

${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ABD}\text{の面積}}{▵\mathrm{AEF}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハヒ}}}{\boxed{\text{フヘ}}}}$

である．

【４】

［１］　ある高校$3$年生$1$クラスの生徒$40$人について，ハンドボール投げの飛距離のデータを取った．右の図$1$は，このクラスで最初に取ったデータのヒストグラムである．

(1)　次の$\boxed{\text{ア}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つ選べ．

　この$40$人のデータの第$3$四分位数が含まれる階級は，$\boxed{\text{ア}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$5\mathrm{m}$以上$10\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{1}}$　$10\mathrm{m}$以上$15\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{2}}$　$15\mathrm{m}$以上$20\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{3}}$　$20\mathrm{m}$以上$25\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{4}}$　$25\mathrm{m}$以上$30\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{5}}$　$30\mathrm{m}$以上$35\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{6}}$　$35\mathrm{m}$以上$40\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{7}}$　$40\mathrm{m}$以上$45\mathrm{m}$未満
• $\overline{)\text{8}}$　$45\mathrm{m}$以上$50\mathrm{m}$未満

(2)　次の$\boxed{\text{イ}}\text{〜}$$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，$\boxed{\text{イ}}\text{〜}$$\boxed{\text{オ}}$の解答の順序は問わない．

　このデータを箱ひげ図にまとめたとき，図$1$のヒストグラムと矛盾するものは，$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　

$\overline{)\text{1}}$　

$\overline{)\text{2}}$　

$\overline{)\text{3}}$　

$\overline{)\text{4}}$　

$\overline{)\text{5}}$　

(3)　次の文章中の$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$に入れるものとして最も適当なものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$の解答の順序は問わない．

　後日，このクラスでハンドボール投げの記録を取り直した．次に示した$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{D}$は，最初に取った記録から今回の記録への変化の分析結果を記述したものである．$\mathrm{a}\text{〜}$$\mathrm{d}$の各々が今回取り直したデータの箱ひげ図となる場合に．$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$の組み合せのうち分析結果と箱ひげ図が矛盾するものは，$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{A}‐\mathrm{a}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{B}‐\mathrm{b}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{C}‐\mathrm{c}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{D}‐\mathrm{d}$

$\mathrm{A}$：どの生徒の記録も下がった．

$\mathrm{B}$：どの生徒の記録も伸びた．

$\mathrm{C}$：最初に取ったデータで上位${\displaystyle \frac{1}{3}}$に入るすべての生徒の記録が伸びた．

$\mathrm{D}$：最初に取ったデータで上位${\displaystyle \frac{1}{3}}$に入るすべての生徒の記録は伸び，下位${\displaystyle \frac{1}{3}}$に入るすべての生徒の記録は下がった．

$\mathrm{a}$　

$\mathrm{b}$　

$\mathrm{c}$　

$\mathrm{d}$　

【４】

〔２〕　ある高校$2$年生$40$人のクラスで一人$2$回ずつハンドボール投げの飛距離のデータを取ることにした．右の図$2$は，$1$回目のデータを横軸に，$2$回目のデータを縦軸に取った散布図である．なお，一人の生徒が欠席したため，$39$人のデータとなっている．

	平均値	中央値	分散	標準偏差
$1$回目のデータ	$24.70$	$24.30$	$67.40$	$8.21$
$1$回目のデータ	$26.90$	$26.40$	$48.72$	$6.98$

$1$回目のデータと$2$回目のデータの共分散

$54.30$

（共分散とは$1$回目のデータの偏差と$2$回目のデータの偏差の積の平均である）

(1)　次の$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．

　$1$回目のデータと$2$回目のデータの相関係数に最も近い値は，$\boxed{\text{ク}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$0.67$
• $\overline{)\text{1}}$　$0.71$
• $\overline{)\text{2}}$　$0.75$
• $\overline{)\text{3}}$　$0.79$
• $\overline{)\text{4}}$　$0.83$
• $\overline{)\text{5}}$　$0.87$
• $\overline{)\text{6}}$　$0.91$
• $\overline{)\text{7}}$　$0.95$
• $\overline{)\text{8}}$　$0.99$
• $\overline{)\text{9}}$　$1.03$

(2)　次の$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つ選べ．

　欠席していた一人の生徒について，別の日に同じようにハンドボール投げの記録を$2$回取ったところ，$1$回目の記録が$24.7\mathrm{m}\text{，}2$回目の記録は$26.9\mathrm{m}$であった．この生徒の記録を含めて計算し直したときの新しい共分散を$A\text{，}$もとの共分散を$B\text{，}$新しい相関係数を$C\text{，}$もとの相関係数を$D$とする．$A$と$B$の大小関係および$C$と$D$の大小関係について，$\boxed{\text{ケ}}$が成り立つ．

• $\overline{)\text{0}}$　$A>B\text{，}C>D$
• $\overline{)\text{1}}$　$A>B\text{，}C=D$
• $\overline{)\text{2}}$　$A>B\text{，}C<D$
• $\overline{)\text{3}}$　$A=B\text{，}C>D$
• $\overline{)\text{4}}$　$A=B\text{，}C=D$
• $\overline{)\text{5}}$　$A=B\text{，}C<D$
• $\overline{)\text{6}}$　$A<B\text{，}C>D$
• $\overline{)\text{7}}$　$A<B\text{，}C=D$
• $\overline{)\text{8}}$　$A<B\text{，}C<D$

【１】　$2$次関数

$y=-x^2+2x+2\cdots$①

のグラフの頂点の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．また

$y=f(x)$

は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，①のグラフを$x$軸方向に$p\text{，}$$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．

(1)　下の$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$<$
• $\overline{)\text{2}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$
• $\overline{)\text{4}}$　$\ne$

　$2\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は

$p\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}$

であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は

$p\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}$

である．

(2)　$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

のときである．

【２】

［２］　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=120\mathrm{°}$とする．このとき，$\mathrm{AC}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$であり，$\sin \angle \mathrm{BCA}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

　直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3\sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$▵\mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\leqq R\leqq \boxed{\text{セ}}$である．

【３】

［２］　ある高校$2$年生$40$人のクラスで一人$2$回ずつハンドボール投げの飛距離のデータを取ることにした．右の図$2$は，$1$回目のデータを横軸に，$2$回目のデータを縦軸に取った散布図である．なお，一人の生徒が欠席したため，$39$人のデータとなっている．

	平均値	中央値	分散	標準偏差
$1$回目のデータ	$24.70$	$24.30$	$67.40$	$8.21$
$1$回目のデータ	$26.90$	$26.40$	$48.72$	$6.98$

$1$回目のデータと$2$回目のデータの共分散

$54.30$

（共分散とは$1$回目のデータの偏差と$2$回目のデータの偏差の積の平均である）

　次の$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．

　$1$回目のデータと$2$回目のデータの相関係数に最も近い値は，$\boxed{\text{ク}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$0.67$
• $\overline{)\text{1}}$　$0.71$
• $\overline{)\text{2}}$　$0.75$
• $\overline{)\text{3}}$　$0.79$
• $\overline{)\text{4}}$　$0.83$
• $\overline{)\text{5}}$　$0.87$
• $\overline{)\text{6}}$　$0.91$
• $\overline{)\text{7}}$　$0.95$
• $\overline{)\text{8}}$　$0.99$
• $\overline{)\text{9}}$　$1.03$

【４】　同じ大きさの$5$枚の正方形の板を一列に並べて，図のような掲示板を作り，壁に固定する．赤色，緑色，青色のペンキを用いて，隣り合う正方形どうしが異なる色となるように，この掲示板を塗り分ける．ただし，塗り分ける際には，$3$色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく，$2$色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする．

(1)　このような塗り方は，全部で$\boxed{\text{アイ}}$通りある．

(2)　塗り方が左右対称となるのは，$\boxed{\text{ウエ}}$通りある．

(3)　青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$\boxed{\text{オ}}$通りある．

(4)　赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$\boxed{\text{カ}}$通りある．

(5)　赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．

・どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$\boxed{\text{キ}}$通りある．

・端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$\boxed{\text{クケ}}$通りある．

よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$\boxed{\text{コサ}}$通りある．

(6)　赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$\boxed{\text{シス}}$通りある．

【５】　以下では，$a=756$とし，$m$は自然数とする．

(1)　$a$を素因数分解すると

$a=2^{\boxed{\text{ア}}}\cdot 3^{\boxed{\text{イ}}}\cdot \boxed{\text{ウ}}$

である．

　$a$の正の約数の個数は$\boxed{\text{エオ}}$個である．

(2)　$\sqrt{am}$が自然数となる最小の自然数$m$は$\boxed{\text{カキ}}$である．$\sqrt{am}$が自然数となるとき，$m$はある自然数$k$により，$m=\boxed{\text{カキ}}{k}^2$と表される数であり，そのときの$\sqrt{am}$の値は$\boxed{\text{クケコ}}k$である．

(3)　次に，自然数$k$により$\boxed{\text{クケコ}}k$と表される数で，$11$で割った余りが$1$となる最小の$k$を求める．$1$次不定方程式

$\boxed{\text{クケコ}}k-11l=1$

を解くと，$k>0$となる整数解$(k,l)$のうち$k$が最小のものは，$k=\boxed{\text{サ}}\text{，}l=\boxed{\text{シスセ}}$である．

(4)　$\sqrt{am}$が$11$で割ると$1$余る自然数となるとき，そのような自然数$m$のなかで最小のものは$\boxed{\text{ソタチツ}}$である．

【６】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=3$となるようにとり，辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{B}$の側の延長と$▵\mathrm{ABD}$の外接円との交点で$\mathrm{B}$と異なるものを$\mathrm{E}$とする．

　$\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CB}=\boxed{\text{アイ}}$であるから，$\mathrm{BE}=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．

　$▵\mathrm{ACE}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\mathrm{AG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

　$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とすると

${\displaystyle \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$$\cdots \text{①}$

である．

　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{EDC}$において，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$は同一円周上にあるので$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{CED}$で，$\angle \mathrm{C}$は共通であるから

$\mathrm{DE}=\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\cdots \text{②}$

である．

　$\text{①，}\text{②}$から，$\mathrm{EP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【１】

［１］　$k\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．$x$の$4$次式

$x^4+5x^3+6x^2+kx-8$

は

$(x^2+ax+4)(x^2+bx-c)$

と因数分解されているとする．

(1)　$c=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$a<b$ならば，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウ}}$であり，このとき$k=\boxed{\text{エオ}}$となる．

　$a\geqq b$ならば，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{キ}}$であり，このとき$k=\boxed{\text{クケ}}$となる．

【１】

［２］　$a$を定数とし，$x$の二つの不等式

$\{\begin{array}{ll}7x+2<3x+a& \cdots \text{①}\\ x+11<\sqrt{2}x+5& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

　下の$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}\text{，}$$\boxed{\text{チ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返しえらんでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$<$
• $\overline{)\text{2}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$
• $\overline{)\text{4}}$　$=$

(1)　$a=10$のとき，不等式$\text{①}$を満たす正の整数$x$は$\boxed{\text{コ}}$個である．

(2)　不等式$\text{②}$の解は

$x\boxed{\text{サ}}\boxed{\text{シ}}\sqrt{2}+\boxed{\text{ス}}$

である．

(3)　$\text{①}$と$\text{②}$の連立不等式を満たす整数$x$がちょうど$10$個存在するような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}a\boxed{\text{タ}}\boxed{\text{チ}}\boxed{\text{ツテト}}$

である．

【４】　$a$を定数とし，$x$の連立不等式

$\{\begin{array}{ll}{x}^2-(2a^2+3a+2)x+2a^2+3a+1\geqq 0& \cdots \text{①}\\ x^2-(a^2+2a+10)x\leqq 0& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

(1)　$\text{①}$の左辺の式を因数分解すると

$(x-\boxed{\text{ア}})(x-\boxed{\text{イ}}{a}^2-\boxed{\text{ウ}}a-\boxed{\text{エ}})$

である．

(2)　この連立不等式$\text{①}\text{，}\text{②}$の解は$a=1$のとき

$\boxed{\text{オ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{クケ}}$

である．

　また，$a=4$のとき

$\boxed{\text{コ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{サ}}$

である．

(3)　すべての実数が$\text{①}$を満たすための条件は$a=\boxed{\text{シ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．したがって，$a=\boxed{\text{シ}}$のとき，この連立不等式$\text{①}\text{，}\text{②}$の解は

$\boxed{\text{タ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{チツ}}$

であり，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$のとき

$\boxed{\text{テ}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{CA}=3$とする．このとき，$\cos \angle \mathrm{C}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であるから，$\sin \angle \mathrm{C}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$で，$▵\mathrm{ABC}$の外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．また，円$O$の，$\mathrm{C}$を含まない弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$と，弦$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi -{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シス}}}}$

である．ただし$\pi$は円周率である．

　辺$\mathrm{BC}$を$\mathrm{C}$の側に延長して$\mathrm{CD}=5$となるように点$\mathrm{D}$をとると

$\mathrm{AD}=\boxed{\text{セ}}$

である．

　辺$\mathrm{AB}$の$\mathrm{A}$の側の延長と$▵\mathrm{ACD}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$と異なるものを$\mathrm{E}$とする．このとき，$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{EB}=\boxed{\text{ソタ}}$であるから，$\mathrm{AE}=\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$であり

${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ABC}\text{の面積}}{▵\mathrm{EBD}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

である．

　また，$▵\mathrm{EBD}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\mathrm{DG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【４】　同じ大きさの$5$枚の正方形の板を一列に並べて，図のような掲示板を作り，壁に固定する．赤色，緑色，青色のペンキを用いて，隣り合う正方形どうしが異なる色となるように，この掲示板を塗り分ける．ただし，塗り分ける際には，$3$色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく，$2$色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする．

(1)　このような塗り方は，全部で$\boxed{\text{アイ}}$通りある．

(2)　塗り方が左右対称となるのは，$\boxed{\text{ウエ}}$通りある．

(3)　青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$\boxed{\text{オ}}$通りある．

(4)　赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$\boxed{\text{カ}}$通りある．

(5)　赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．

・どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$\boxed{\text{キ}}$通りある．

・端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$\boxed{\text{クケ}}$通りある．

よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$\boxed{\text{コサ}}$通りある．

(6)　赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$\boxed{\text{シス}}$通りある．

(7)　(1)で考えた$\boxed{\text{アイ}}$通りの塗り分けを行った掲示板をすべて用意し，その中から$1$つの掲示板を選ぶ試行を行い，赤色に塗られた正方形の枚数を数える．このとき，赤色に塗られた正方形の枚数の期待値は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．