2015 大学入試センター試験 追試験 新旧数学I/数学IAMathJax

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2015 大学入試センター試験 追試

数学I

旧数学I【1】[1]の類題.旧数学Iでは(2)がない

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a= -2+2 2+2 6 1+3 とする.

(1)  a= + - であり, (a - - ) 2= から a 2- a+ =4 ( a- ) であり,両辺を 2 乗して整理すると

a4 - a3- クケ a2+ コサ a+ = 0

である.

(2)  b= 2a とする. b

b4 +20 b3- 16b 2- b+ = 0

を満たす.

2015 大学入試センター試験 追試

数学I・数学IA・旧数学IA共通

数学IAは【2】[1]

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  a を正の実数とし,実数 x に関する条件 p q r を次のように定める.

p( x-2 3) (x -11) >0

qx <a または x> 112 a

rx は整数である.

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

p r であるための

0  必要十分条件である

1  十分条件であるが,必要条件ではない

2  必要条件であるが,十分条件ではない

3  必要条件でも十分条件でもない

(2) 条件 p の否定を p q の否定を q と表し

A={ x| x p を満たす }

B={ x| x q を満たす}

と定める. AB が空集合でないための必要十分条件は

a

が成り立つことである.

2015 大学入試センター試験 追試

数学I,旧数学I,旧数学IA

数学IA【1】の類題.数学IAは(2)を除く

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を実数とする. 2 次関数 y =- 14 x 2 のグラフを, x 軸方向に - a y 軸方向に 4 ( a+1 )2 だけ平行移動して得られるグラフを G とする. G の方程式は

y=- 1 4 (x + a+ ) (x- a- )

と表せる.

(1)  G - 9x 11 の範囲で, x 軸と相異なる 2 点で交わるような a の値の範囲は

オカ a< キク ケコ <a

である.

(2)  G が, x 軸と相異なる 2 点で交わり,その 2 点間の距離が, G の頂点の y 座標の 2 倍になるような a の値は

シス

である.

(3)  G が実数全体を動くとき, G y 軸の交点の y 座標の最小値は

ソタ チツ

である.

2015 大学入試センター試験 追試

数学I,旧数学I

数学IA【2】[2]の類題

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC は半径 214 7 の円 O に内接し, BC=2 cos ABC =- 24 とする.このとき

sin ABC= アイ CA= AB=

であり, ABC の面積は である.

 点 D を線分 BD が円 O の直径となるようにとる.このとき

AD=

である.

 直線 AB と直線 CD の交点を E とすると, tan EBC= であり, EC= シス である.

 また

EBC の面積 EDA の面積= セソ タチ

である.

  EAC を線分 BC で折り曲げて, EBC ABC に垂直となるようにする.このときできる四面体 EABC の体積は

トナ

である.

2015 大学入試センター試験 追試

数学I・数学IA共通

配点8点

数学IAは【3】[1]

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

[1] 次の表は, 2004 年から 2013 年までの乗用車の新車登録台数を月別にまとめたものである.

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合 計
2004 33 44 70 30 32 39 43 29 46 35 39 37 477
2005 32 44 68 33 34 42 42 29 46 34 37 33 474
2006 33 44 69 31 32 41 40 28 44 33 36 33 464
2007 31 42 64 29 31 37 36 28 42 34 36 31 441
2008 32 43 61 31 30 36 38 26 40 31 30 25 423
2009 26 32 46 24 24 32 37 26 41 34 37 32 391
2010 32 40 58 30 30 38 42 37 40 25 26 24 422
2011 26 34 36 15 20 29 31 27 39 32 32 29 350
2012 36 45 64 31 34 43 45 32 38 30 32 28 458
2013 33 41 57 31 31 38 40 31 45 35 38 36 456

単位:万台

出典:日本自動車工業会( 2014 )『自動車統計月報』などより作成

(1)  2004 年から 2013 年までの各年の合計について,第 1 四分位数は アイウ 万台である.

(2) 次の に当てはまるものを,下の 0 4 の中から一つずつ選べ.ただし, の解答の順序は問わない.

  2004 年から 2013 年までの各年のデータから次の箱ひげ図を作成した.この箱ひげ図から読み取れる内容として正しいものは, である.

2015年センター試験追試験数学I【4】の図

0  新車登録台数が 60 万台を超えた月があるのは, 2004 年から 2008 年の間だけである.

1  四分位範囲が最も大きい年は 2008 年である.

2   2008 年の中央値は, 2006 年の第 1 四分位数よりも大きい.

3  最小値,中央値,最大値のそれぞれをこの 10 年間でみたとき, 3 つの数値すべてにおいて 2011 年が最も小さくなっている.

4  新車登録台数が 30 万台を下回った月がないのは 2013 年だけである.

2015 大学入試センター試験 追試

数学I

数学IAの類題.数学IAでは(2)の一部

配点12点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

〔2〕 次の散布図は, 47 都道府県について人口を横軸,自動車保有台数(軽自動車を含む)を縦軸にとったものである.

2015年センター試験追試験数学I【4】の図

出典:自動車検査登録情報協会( 2013 )『自動車保有台数統計データ』,

総務省統計局( 2013 )『人口推計』より作成

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 4 の中から一つずつ選べ.ただし, の解答の順序は問わない.

 この散布図から読み取れる内容として正しくないものは, である.

0  人口が増えるにつれて自動車保有台数も増える傾向にある.

1  自動車保有台数が 300 万台を超える都道府県は全部で 8 つ以上ある.

2  東京都は,人口,自動車保有台数ともに最も多い.

3  人口 300 万人までの都道府県とそれ以上の都道府県では,人口に対する自動車保有台数の増え方の傾向が異なっている.

4  自動車保有台数が 200 万台に満たない都道府県の人口は,すべて 200 万人以下である.

(2) 次の に当てはまるものを,下の 0 6 の中から一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

 都道府県ごとの自動車保有の実態について,次の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)はそれぞれ異なる分析目的とそのための方法をまとめたものである.

(ⅰ) 人口に対する軽自動車保有台数の割合の高い都道府県はどこか調べたい.このために最も適当な方法は, である.

(ⅱ) 自動車保有台数に占める軽自動車の割合が高い都道府県はどこか調べたい.このために最も適当な方法は, である.

(ⅲ)  20 代, 30 代の人口と軽自動車保有台数との関係を調べたい.このために最も適当な方法は, である.

0  人口の最も多い東京都と最も少ない鳥取県に注目し,人口や自動車保有台数,軽自動車保有台数を比較する.

1  都道府県ごとに軽自動車保有台数を人口で割って分析する.

2  人口に占める 20 代, 30 代の割合の最も高い都道府県と最も低い都道府県の中から一つずつ選び,軽自動車保有台数について比較する.

3  各都道府県の軽自動車販売台数に関するデータを入手し,軽自動車販売台数と人口との関係について分析する.

4  各都道府県の 20 代, 30 代人口に関するデータを入手し,軽自動車保有台数のデータと合わせて分析する.

5  各都道府県の軽自動車保有台数を自動車保有台数で割って分析する.

6  自動車メーカーごとの軽自動車販売台数に関するデータを入手して分析する.

2015 大学入試センター試験 追試

数学IA

数学I【2】の類題.数学Iでは(1),(2)の間に設問あり.

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とする. 2 次関数 y =- 14 x 2 のグラフを, x 軸方向に - a y 軸方向に 4 ( a+1 )2 だけ平行移動して得られるグラフを G とする. G の方程式は

y=- 1 4 (x + a+ ) (x- a- )

と表せる.

(1)  G - 9x 11 の範囲で, x 軸と相異なる 2 点で交わるような a の値の範囲は

オカ a< キク ケコ <a

である.

(2)  G が実数全体を動くとき, G y 軸の交点の y 座標の最小値は

シス セソ

である.

2015 大学入試センター試験 追試

数学IA

数学I【3】の類題

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[2]  ABC は半径 214 7 の円 O に内接し, BC=2 cos ABC =- 24 とする.このとき

sin ABC= オカ CA= AB=

であり, ABC の面積は である.

 点 D を線分 BD が円 O の直径となるようにとる.このとき

AD=

である.

2015 大学入試センター試験 追試

数学IA

数学I【4】[2]の類題

配点7点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】

[2] 次の散布図は, 47 都道府県について人口を横軸,自動車保有台数を縦軸にとったものである.

2015年センター試験追試験数学I【4】の図

出典:自動車検査登録情報協会( 2013 )『自動車保有台数統計データ』,

総務省統計局( 2013 )『人口推計』より作成

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 4 の中から一つずつ選べ.ただし, の解答の順序は問わない.

 この散布図から読み取れる内容として正しくないものは, である.

0  人口が増えるにつれて自動車保有台数も増える傾向にある.

1  自動車保有台数が 300 万台を超える都道府県は全部で 8 つ以上ある.

2  東京都は,人口,自動車保有台数ともに最も多い.

3  人口 300 万人までの都道府県とそれ以上の都道府県では,人口に対する自動車保有台数の増え方の傾向が異なっている.

4  自動車保有台数が 200 万台に満たない都道府県の人口は,すべて 200 万人以下である.

(2) 次の に当てはまるものを,下の 0 4 の中から一つ選べ.

 人口に対する自動車保有台数の割合の高い都道府県はどこか調べたい.このために最も適当な方法は, である.

0  自動車メーカーごとの軽自動車販売台数に関するデータを入手して分析する.

1  人口の最も多い東京都と最も少ない鳥取県に注目し,人口や自動車保有台数を比較する.

2  都道府県ごとに自動車保有台数を人口で割って分析する.

3  各都道府県の自動車販売台数に関するデータを入手し,自動車販売台数と人口との関係について分析する.

4  各都道府県の自動車保有台数と自動車販売台数を比較する.

2015 大学入試センター試験 追試

数学IA

【4】〜【6】から2題選択

旧数学IA【4】の類題.旧数学IAは(5)を追加

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 白いボールが 3 個,黒いボールが 1 個入っている箱がある.この箱の中から 1 個のボールを取り出し,ボールの色を確認した後,ボールを箱に戻すという試行を 4 回行う.白いボールが取り出された回数を m とする.また,整数 n を次のように定義する.

・白いボールが全く取り出されなかった場合は, n=0 とする.

・白いボールは取り出されたが, 2 回以上連続して白いボールが取り出されなかった場合は, n=1 とする.

・白いボールが 2 回以上連続して取り出された場合は,白いボールが連続して取り出された回数の最大値を n とする.

例えば,

白,白,黒,白の順に取り出した場合は, n=2

白,白,白,白の順に取り出した場合は, n=4

である.

(1)  m=3 となる確率は, アイ ウエ である.

(2)  n=3 となる確率は オカ キクケ である.

(3)  n=2 となる確率は, コサ シスセ である.

(4)  n=1 となる確率は, ソタ チツテ である.

2015 大学入試センター試験 追試

数学IA

【4】〜【6】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】(1)  p を素数とし, n を自然数とする.

n2 +n-6 =(n - ) (n + )

であるから, n2 +n-6 p の倍数になるのは, n- p の倍数の場合または n + p の倍数の場合である. p=13 のときは, n p で割った余りが または エオ の場合の 2 通りである. p=17 のときは, n p で割った余りが または キク の場合の 2 通りである.

  n- p の倍数のとき, n+ p の倍数となるのは p = の場合である.

(2) 不定方程式

13x -17y =1

の解となる自然数 x y x が最小のものは, x= y= である.

(3)  221 以下の自然数 n で, 13 で割った余りが 17 で割った余りが キク となるものは, n= シスセ である.

2015 大学入試センター試験 追試

数学IA

【4】〜【6】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】 長さ 6 の線分 BC 1 :5 に内分する点 D をとり, D を通り BC に直交する直線上に点 A AD =2 6 となるようにとる.

 このとき, AB= AC= であるから, ABC の内接円の半径は である.

 内接円が辺 BC AC に接する点を E F とすると, CE=CF = であるから,内心 O と頂点 C との距離は

CO= クケ

である.

  CEF の内心と ABC の内心の間の距離は

である.

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旧数学I,旧数学IA

数学i【1】[1]の類題.数学Iでは(2)がある

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a= -2+2 2+2 6 1+3 とする.

  a= + - であり, (a - - ) 2= から a 2- a+ =4 ( a- ) であり,両辺を 2 乗して整理すると

a4 - a3- クケ a2+ コサ a+ = 0

である.

2015 大学入試センター試験 追試

旧数学I

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  a を定数として, x についての 2 次方程式

x2 +(a -4) x+a 2+4 =0

を考える.

(1)  x=3 2 次方程式 の解であるのは

a= スセ ±

のときである.

(2)  2 次方程式 が実数解をもつのは

チツ a

のときである.

(3) 不等式 を満たす整数 a の個数は 個である.このような 個の整数 a に対して 2 次方程式 の解をすべて考えるとき,この中で最大のものと最小のものとの差は

+

である.

2015 大学入試センター試験 追試

旧数学I

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  x y に関する連立方程式

{ 2x 2+y 2-2 x-3= 0 3 x2- xy+ 2y2 +( a-3) x+y- 6-a= 0

を満たす解 x y を求めることを考える.ただし, a は定数である.

  × 2- を計算すると

(x - ) (x +y-a )=0

を得る.よって, x= y=± はこの連立方程式の解となる.

また, y=-x +a の左辺の y に代入した式を f (x ) とすると

f( x)= x2- ( a+ ) x+a2 -

となる.

  2 次方程式 f (x )=0 が実数解を持つ a の値の範囲は

- クケ a + クケ

となる.

特に, a= - クケ のとき,連立方程式 の解は x = y=± および

x= - シス y= - ソタ

である.

2015 大学入試センター試験 追試

旧数学IA

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において AB =4 BC =6 CA =10 とする.辺 BC の中点を D とすると, cos ABD= AD = であり, ABD の外接円 O の半径は オカ キク である.辺 CA の延長と円 O の交点で A と異なる点を E とする.線分 DE と平行な, C を通る直線と,直線 AD の交点を F とする. AE= コサ だから, AF= となり, ACF の外接円 O の半径は タチ となる.

  2 つの外接円の中心 O O について

cos OAE= cos O AC =

となるから, 2 点間の距離 O O ネノ となる.

2015 大学入試センター試験 追試

旧数学IA

数学IA【4】の類題.数学IAは(5)欠

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 白いボールが 3 個,黒いボールが 1 個入っている箱がある.この箱の中から 1 個のボールを取り出し,ボールの色を確認した後,ボールを箱に戻すという試行を 4 回行う.白いボールが取り出された回数を m とする.また,整数 n を次のように定義する.

・白いボールが全く取り出されなかった場合は, n=0 とする.

・白いボールは取り出されたが, 2 回以上連続して白いボールが取り出されなかった場合は, n=1 とする.

・白いボールが 2 回以上連続して取り出された場合は,白いボールが連続して取り出された回数の最大値を n とする.

例えば,

白,白,黒,白の順に取り出した場合は, n=2

白,白,白,白の順に取り出した場合は, n=4

である.

(1)  m=3 となる確率は, アイ ウエ である.

(2)  n=3 となる確率は オカ キクケ である.

(3)  n=2 となる確率は, コサ シスセ である.

(4)  n=1 となる確率は, ソタ チツテ である.

(5)  n の期待値は, トナニ ヌネノ である.

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