2015 旭川医科大学 前期

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2015 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  f( p,q, r)= p3- q3- 27r 3-9 pq r について,次の問いに答えよ.

問1  f( p,q,r ) を因数分解せよ.

問2 等式 f (p ,q,r )=0 p2-10 q-30 r=11 との両方を満たす正の整数の組 ( p,q, r) をすべて求めよ.

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【2】  n を正の整数とする. 2n πx (2 n+1 )π の範囲で関数 f (x )=x sinx を考える.関数 f (x ) が極大値をとる x a n とし,曲線 y =f( x) の変曲点を ( bn, f( bn) ) とする.次の問いに答えよ.

問1  an b n はそれぞれ ただ 1 つあって, 2n π bn 2n π+ π2 <an <(2 n+1 )π を満たすことを示せ.

問2 以下の極限を求めよ.

問3 曲線 y =f( x) 2x (2 n+1 )π x 軸とで囲まれた図形を, 3 つの直線 x =bn x=2 nπ+ π2 x= an によって 4 つの部分に分ける.その面積を左から順に S1 S 2 S 3 S4 とするとき, (S 3+S 4)- (S1 +S2 ) の値を求めよ.

問4 以下の極限を求めよ.



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【3】 曲線 C y= sin2 x について, C 上の点 ( t,sin2 t ) ( 0t π 2 ) における C の接線と直線 x =a との交点を P とする.ただし, a 0 a π 2 を満たす定数とする.このとき,次の問いに答えよ.

問1 点 P y 座標を f( t) とおくとき, f( t) を求めよ.

問2 関数 f( t) の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ.

問3  t 0 t π 2 の範囲を動くとき,点 ( t,sin2 t ) における C の接線が通るすべての点のうち, 0x π2 となるものの範囲を x y 平面に図示せよ.

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【4】 四面体 OAPQ において, AOP= AOQ= POQ=60 ° OA =1 OP =p OQ =q とし,頂点 A から平面 OPQ に下ろした垂線を AH とする.ただし, pq とする.このとき,次の問いに答えよ.

問1 内積 AP AQ p q を用いて表せ.

問2  AH の長さを求めよ.

問3  p+q= 3 および APQ の面積が 1 のとき,以下の値を求めよ.

(1)  pq   (2)  p  (3) 四面体 OAPQ の体積

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