2015 浜松医科大学 前期医学部

Mathematics

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2015 浜松医科大学 前期

医学科

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an } は初項 a 1= 13 および漸化式

(n +2) an -2( n+1) aa +1+ (n+ 1) an an+ 1=0

n =1 2 3 を満たす.以下の問いに答えよ.

(1)  a2 を求めよ.

(2) すべての自然数 n について an 0 が成り立つことを証明せよ.

(3) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(4)  Sn = k= 1n ak とする.このとき,すべての自然数 n について Sn< 2 が成り立つことを証明せよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 整数ではない実数 x に対して f (x )= 1x- [x ] と定める.ただし, [x ] l <x<l +1 を満たす整数 l を表す.以下の問いに答えよ.

(1)  f( 2) f (f (2 )) を計算し,簡潔な形で表せ.

(2)  f( 3) f (f (3 )) f (f (f (3 )) ) を計算し,簡潔な形で表せ.

(3) 自然数 n に対して, n<x <n+1 かつ f (x )=x を満たす x を求めよ.

(4) 自然数 n 1 つ固定する. n<x <n+1 の範囲の x で, f( x) が整数ではなく,さらに f (f (x )) =x を満たす x を大きい順に並べる.その中の x f (x )=x を満たすものは何番目に現れるかを答えよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  t は実数で 0 <t< π 2 を満たすとする.平面上に点 O ( 0,0 ) A (- 1,0 ) P (cos t,sin t) Q ( 1,sin t) をとる.このとき以下の問いに答えよ.

(1) 点 A と点 P を通る直線を l O と点 Q を通る直線を m とする.このとき l m の交点 R の座標を求めよ.

(2)  t 0 <t< π 2 の範囲全体を動くときに点 R が描く曲線を C とする.このとき,点 ( x,y ) x>0 y>0 C 上にあるための条件を x y の式で表せ.

(3) 曲線 C の点 R における接線を n とする.ある t に対して直線 l m がなす鋭角と直線 m n がなす鋭角が等しくなる.この状況のもとで,以下の問いに答えよ.

(a) 点 P ( cost, sint ) の座標を求めよ.

(b) 直線 l n のなす鋭角を θ とおく.また,点 O を中心とし半径が 1 の円と直線 n との 2 交点のうち, y 座標が正の点を S ( cosϕ,sin ϕ ) とおく.このとき, θ=ϕ を示せ.

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【4】  α β

α=lim n ( ( 3n+1 )( 3n+2 )( 3n+3 ) (3 n+n )( n+1) (n +2) (n +3) ( n+n) ) 1n

および

β=lim n ( ( 3n2 +12 )( 3n2 +22 )( 3n2 +32 ) (3 n2+ n2) (n 2+12 )( n2+ 22) (n 2+32 ) (n 2+n2 ) )1n

とおく.このとき α <β を示せ.また, α β の値をそれぞれ求めよ.

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