2015 京都府立医科大学 前期

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2015 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  n 1 以上の整数とし

fn ( x)= 1 (2 -x) n +( -1) n-1 1 (2 +x) n |x |<2

とおく.これについて

I1 = 01 f1 (x )d x

In = 01 (1 -x) n-1 f n( x) dx n2

とおく.

(1)  fn (x ) の導関数 fn (x ) fn+1 ( x) を用いて表せ.

(2)  n が奇数のとき In= 1 2n- 1 n+ In+ 1 n が偶数のとき In= In+1 であることを証明せよ.

(3)  0I n 2n であることを証明せよ.

(4)  k= 1 14 k-1 (2 k-1 ) =log 3 であることを証明せよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 円錐 C は母線の長さが 1 で,側面を扇形に展開したときの展開図の中心角が θ 0< θ<2 π であるとする.円錐 C の底面の半径を R とし,円錐 C に内接する球 B の半径を r とする.球 B と円錐 C の側面とで囲まれた部分を A とする.

(1)  R r θ を用いて表せ.

(2)  A の体積を V とするとき, V R を用いて表せ.

(3)  C の側面のうち A に含まれる部分の面積を S とする. 0<θ <2π のとき, VS を最大にする θ の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 関数

g( x)= -1 2 | |log |x |+1 |+log | x|- 1| x0

に対して, f( x)= eg (x) x0 とし, f( 0)= 1e とおく.ここで e は自然対数の底である.

(1) 関数 y =f (x ) のグラフの概形をかけ.

 曲線 y =f( x) 上の点 A ( a,f (a )) を固定する. x 軸上に 2 B C をとり, yf (x ) の表す領域に含まれる三角形 ABC を考える.このような三角形のうち最大の面積をもつ三角形の面積を S (a ) とおく.

(2)  S( 0) を求めよ.

(3)  S( a) S( 0) であることを証明せよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  1 から 10 までの番号が書かれたカードが 1 枚ずつ全部で 10 枚ある.この中から無作為に 1 枚選び,立方体 ABCD EFGH の頂点 A にそのカードを割り当てる.次に残りの 9 枚から無作為に 1 枚選び,頂点 B にそのカードを割り当てる.以下同様にして, C から H までの頂点にカードを割り当て,立方体の 8 個の頂点に 8 枚の異なるカードを割り当てる.

(1) 立方体の 8 個の頂点に割り当てたカードの番号の和が偶数になる確率を求めよ.

(2) 立方体の面のうちで,面の 4 頂点に割り当てたカードの番号の和が偶数になるものの個数を数える.その個数がちょうど 3 になる確率を求めよ.

(3) 立方体のすべての面において,面の 4 頂点に割り当てたカードの番号の和が偶数になる確率を求めよ.

(4) 立方体のすべての面において,面の 4 頂点に割り当てたカードの番号の和が奇数になる確率を求めよ.

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