2015 和歌山県立医科大学 前期

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2015 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  f( x)= x3+ ax2 +bx +c とし, a b c は実数とする. y=f (x ) によって表される曲線を C とおく. C x 軸と点 ( -1,0 ) でのみ交わるとする.さらに, C の接線で傾きが - 1 のものがただ一つ存在するとし,それを l とする.

(1)  f (-1 )>1 となることを示せ.

(2)  a の値の範囲を求めよ.

(3)  C l の接点の x 座標が 1 であるとき, C l x 軸で囲まれる部分の面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】(1)  a は実数で 0 aπ とする.

0θ π sin ( π4 a 2+ π4 )+cos θ=0

を満たす θ を求めよ.

(2) 連立不等式

0x π 0 yπ sin ( π4 x 2+ π4 )+cos y0

によって表される x y 平面上の領域を図示せよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  xyz 空間の原点を O とし,点 ( 0,0, 1) と点 ( 3,1 ,1) を通る直線を l とする.点 P は,時刻 t =0 のとき ( -4,0 ,0) にあって, x 軸上を正の向きに速さ 1 で動いている.点 Q は, t=0 のとき ( 0,0, 1) にあって,直線 l 上を x 座標が増えるように速さ 2 で動いている.

(1) 点 P Q の座標を t の式で表せ.

(2) 三角形 OPQ の面積 S t の式で表せ.

(3)  -0.33 t2.6 のときの S の最大値と最小値,およびそれらをとる t の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 あるバクテリアをある条件の下で培養した場合,生存している 1 個が, 1 時間後には 1 回分裂して 2 個ともに生存しているか,あるいは死滅しているかであり, 2 個とも生存している確率が p 死滅している確率が 1 -p であるという.このバクテリアがこの条件の下で最初 1 個存在していたとき, n 時間後に 1 個以上生存している確率を P n とおく.ただし, n は自然数とする.

(1)  P2 P3 をそれぞれ p の式で表せ.

(2)  Pn+ 1 p P n の式で表せ.

(3)  p= 13 のときの limn P n を求めよ.

(4)  a 2 より大きな実数とする. p= a-1 a Q n=P n- a-2 a-1 としたとき, 0<Q n+1 <Qn であることを示せ.

(5)  p が(4)と同じときの limn P n を求めよ.

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