2016 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IAMathJax

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2016 大学入試センター試験 本試

数学I

数学IAの【1】[1]の類題.数学IAIは(3)を除いたもの

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a を実数とする. x の関数

f( x)= (1+ 2a) (1 -x) +(2 -a) x

を考える.

f( x)= (- a+ ) x+2 a+1

である.

(1)  0x 1 における f (x ) の最小値は,

a のとき, a+ であり,

a> のとき, a+ である.

(2)  0x 1 において,常に f (x ) 2 (a +2) 3 となる a の値の範囲は, a である.

(3)  0x 1 における f (x ) の最小値を g (a ) とおき, a の関数と考える. a a の範囲にあるとき, g( a) の最小値は であり, g( a) の最大値は である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

数学IAは解答記号がサからタまで

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 次の問いに答えよ.必要ならば, 7 が無理数であることを用いてよい.

(1)  A を有理数全体の集合, B を無理数全体の集合とする.空集合を と表す.

 次の(ⅰ)〜(ⅳ)が真の命題になるように, に当てはまるものを,下の 0 5 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

(2) 実数 x に対する条件 p q r を次のように定める.

p x は無理数

q x+28 は有理数

r 28 x は有理数

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

p q であるための

p r であるための

0  必要十分条件である.

1  必要条件であるが,十分条件でない

2  十分条件であるが,必要条件でない

3  必要条件でも十分条件でもない

2016 大学入試センター試験 本試

数学I

数学IA【1】〔3〕の類題.数学IAは(2)を除く

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a 1 以上の定数とし, x についての連立不等式

{ x2 +(20 -a2 )x -20 a2 0 x2 +4a x0

を考える.

(1) 不等式 の解は アイウ x a2 である.また,不等式 の解は x エオ x である.

 この連立不等式を満たす負の実数が存在するような a の値の範囲は

1a

である.

(2)  a の範囲にあるとする.この連立不等式の解を数直線上に図示すると, 0 以上の部分に含まれている線分と 0 以下の部分に含まれている線分とになる.これらの線分の長さの和は

a2 - a+ ケコ

である.ただし,ここでは 1 点からなる集合は長さ 0 の線分とみなす.この長さの和が最大になるのは a = のときで,その値は シス である.また,最小になるのは a = のときで,その値は ソタ である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学I

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=4 BC=6 CA= 10 3 とする.このとき

cos BAC= アイ sin BAC=

である.また, ABC の面積は キク ABC の外接円の中心を O とすると,外接円 O の半径は である.

  BAC の二等分線と外接円 O との交点で A とは異なる点を D とすると,円周角と中心角の関係より

cos BOD= セソ

であるから, BD= である.したがって

sinBCA sin BCD=

であり

ABC の面積 DBCの面積 = ニヌ ネノ

である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学I

数学IA【2】〔2〕の類題.数学IAは(2)を除く

配点8点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】[1] 次の 4 つの散布図は, 2003 年から 2012 年までの 120 か月の東京の月別データをまとめたものである.それぞれ, 1 日の最高気温の月平均(以下,平均最高気温), 1 日あたり平均降水量,平均湿度,最高気温 25 °C 以上の日数の割合を横軸にとり,各世帯の 1 日あたりアイスクリーム平均購入額(以下,購入額)を縦軸としてある.

出典:総務省統計局(2013)『家計調査年鑑』,『過去の気象データ』

(気象庁Webページ)などにより作成

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 上の散布図から読み取れることとして正しいのは, である.

0  平均最高気温が高くなるほど購入額は増加する傾向にある.

1   1 日あたり平均降水量が多くなるほど購入額は増加する傾向にある.

2  平均湿度が高くなるほど購入額の散らばりは小さくなる傾向がある.

3   25 °C 以上の日数の割合が 80 % 未満の月は,購入額が 30 円を越えていない.

4  この中で正の相関があるのは,平均湿度と購入額の間のみである.

(2) 次の 4 つの散布図は, 10 ページの散布図『平均最高気温と購入額』のデータを季節ごとにまとめたもので,その下にある 4 つの箱ひげ図は,購入額のデータを季節ごとにまとめたものである.

2016年センター試験本試験数学I,IA2016100000105の図

出典:総務省統計局(2013)『家計調査年鑑』,『過去の気象データ』

(気象庁Webページ)などにより作成

 次の にあてはまるものを,下の 0 8 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 季節ごとの平均最高気温と購入額について,これらの図から読み取れることとして正しいものは, である.

0  夏の購入額は,すべて 25 円を上回っている.

1  秋には平均最高気温が 20 °C 以下で購入額が 15 円を上回っている月がある.

2  購入額の範囲が最も大きいのは秋である.

3  春よりも秋の方が,購入額の最大値は小さい.

4  春よりも秋の方が,購入額の第 3 四分位数は大きい.

5  春よりも秋の方が,購入額の中央値は大きい.

6  平均最高気温が 25 °C を上回っている月があるのは夏だけである.

7  購入額の四分位範囲が最も小さいのは春である.

8  購入額が 35 円を下回っている月は,すべて平均最高気温が 30 °C 未満である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学I,数学IA共通

数学IAは【2】〔3〕で解答記号がソからトまで

配点12点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

〔2〕 世界 4 都市(東京, O 市, N 市, M 市)の 2013 年の 365 日の各日の最高気温のデータについて考える.

(1) 次のヒストグラムは,東京, N 市, M 市のデータをまとめたもので,この 3 都市の箱ひげ図は下の a b c のいずれかである.

2016年センター試験本試験数学I,IA2016100000106の図 2016年センター試験本試験数学I,IA2016100000106の図 2016年センター試験本試験数学I,IA2016100000106の図
東京 N M

2016年センター試験本試験数学I,IA2016100000106の図

出典:『過去の気象データ』(気象庁Webページ)などにより作成

 次の に当てはまるものを,下の 0 5 のうちから一つ選べ.

 都市名と箱ひげ図の組合せとして正しいものは, である.

(2) 次の 3 つ散布図は,東京, O 市, N 市, M 市の 2013 年の 365 日の各日の最高気温のデータをまとめたものである.それぞれ, O 市, N 市, M 市の最高気温を縦軸にとり,東京の最高気温を横軸にとってある.

出典:『過去の気象データ』(気象庁Webページ)などにより作成

 次の に当てはまるものを,下の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 これらの散布図から読み取れることとして正しいものは, である.

0  東京と N 市,東京と M 市の最高気温の間にはそれぞれ正の相関がある.

1  東京と N 市の最高気温の間には正の相関,東京と M 市の最高気温の間には負の相関がある.

2  東京と N 市の最高気温の間には負の相関,東京と M 市の最高気温の間には正の相関がある.

3  東京と O 市の最高気温の間の相関の方が,東京と N 市の最高気温の間の相関より強い.

4  東京と O 市の最高気温の間の相関の方が,東京と N 市の最高気温の間の相関より弱い.

(3) 次の に当てはまるものを,下の 0 9 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

  N 市では温度の単位として摂氏( °C )のほかに華氏( °F )も使われている.華氏( °F )での温度は,摂氏( °C )での温度を 95 倍し, 32 を加えると得られる.例えば,摂氏 10 °C は, 9 5 倍し, 32 を加えることで華氏 50 °F となる.

 したがって, N 市の最高気温について,摂氏での分散を X 華氏での分散を Y とすると, Y X になる.

 東京(摂氏)と N 市(摂氏)の共分散を Z 東京(摂氏)と N 市(華氏)の共分散を W とすると, W Z になる(ただし,共分散は 2 つの変量のそれぞれの偏差の積の平均値).

 東京(摂氏)と N 市(摂氏)の相関係数を U 東京(摂氏)と N 市(華氏)の相関係数を V とすると, VU になる.

0   - 8125 1   - 95 2   -1 3   - 59 4   - 2581
5   2581 6   5 9 7   1 8   9 5 9   81 25

2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

数学I【1】〔1〕の類題.数学Iでは(3)が追加

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a を実数とする. x の関数

f( x)= (1+ 2a) (1 -x) +(2 -a) x

を考える.

f( x)= (- a+ ) x+2 a+1

である.

(1)  0x 1 における f (x ) の最小値は,

a のとき, a+ であり,

a> のとき, a+ である.

(2)  0x 1 において,常に f (x ) 2 (a +2) 3 となる a の値の範囲は, a である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

数学I【2】の類題.数学Iでは(2)が追加

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔3〕  a 1 以上の定数とし, x についての連立不等式

{ x2 +(20 -a2 )x -20 a2 0 x2 +4a x0

を考える.このとき不等式 の解は チツテ x a2 である.また,不等式 の解は x トナ x である.

 この連立不等式を満たす負の実数が存在するような a の値の範囲は

1a

である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[1]  ABC の辺の長さと角の大きさを測ったところ, AB=7 3 および ACB=60 ° であった.したがって, ABC の外接円 O の半径は である.

 外接円 O の,点 C を含む弧 AB 上で点 P を動かす.

(1)  2PA =3PB となるのは PA = ウエ のときである.

(2)  PAB の面積が最大となるのは PA = のときである.

(3)  sin PBA の値が最大となるのは PA = キク のときであり,このとき PAB の面積は ケコ である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点15点

数学I【4】〔1〕の類題.数学Iは(2)が追加

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔2〕 次の 4 つの散布図は, 2003 年から 2012 年までの 120 か月の東京の月別データをまとめたものである.それぞれ, 1 日の最高気温の月平均(以下,平均最高気温), 1 日あたり平均降水量,平均湿度,最高気温 25 °C 以上の日数の割合を横軸にとり,各世帯の 1 日あたりアイスクリーム平均購入額(以下,購入額)を縦軸としてある.

出典:総務省統計局(2013)『家計調査年鑑』,『過去の気象データ』

(気象庁Webページ)などにより作成

 次の に当てはまるものを,下の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 これらの散布図から読み取れることとして正しいのは, である.

0  平均最高気温が高くなるほど購入額は増加する傾向にある.

1   1 日あたり平均降水量が多くなるほど購入額は増加する傾向にある.

2  平均湿度が高くなるほど購入額の散らばりは小さくなる傾向がある.

3   25 °C 以上の日数の割合が 80 % 未満の月は,購入額が 30 円を越えていない.

4  この中で正の相関があるのは,平均湿度と購入額の間のみである.

2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 赤球 4 個,青球 3 個,白球 5 個,合計 12 個の球がある.これら 12 個の球を袋の中に入れ,この球から A さんがまず 1 個取り出し,その球をもとに戻さずに続いて B さんが 1 個取り出す.

(1)  A さんと B さんが取り出した 2 個の球のなかに,赤球か青球が少なくとも 1 個含まれている確率は アイ ウエ である.

(2)  A さんが赤球を取り出し,かつ B さんが白球を取り出す確率は カキ である.これより, A さんが取り出した球が赤球であったとき, B さんが取り出した球が白球である条件付き確率は ケコ である.

(3)  A さんは 1 球取り出したのち,その色を見ずにポケットの中にしまった. B さんが取り出した球が白球であることがわかったとき, A さんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい.

  A さんが赤球を取り出し,かつ B さんが白球を取り出す確率は カキ であり, A さんが青球を取り出し,かつ B さんが白球を取り出す確率は シス である.同様に, A さんが白球を取出し,かつ B さんが白球を取出す確率を求めることができ,これらの事象は互いに背反であるから, B さんが白球を取出す確率は ソタ である.

 よって,求める条件付き確率は ツテ である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

(1) 不定方程式

92x +197y =1

をみたす整数 x y の組の中で, x の絶対値が最小のものは

x= アイ y= ウエ

である.不定方程式

92x +197 y=10

をみたす整数 x y の組の中で, x の絶対値が最小のものは

x= オカキ y= クケ

である.

2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

(2)  2 進法で 11011 (2 ) と表される数を 4 進法で表すと コサシ (4 ) である.

 次の 0 5 6 進法の小数のうち, 10 進法で表すと有限小数として表せるのは, である.ただし,解答の順序は問わない.



2016 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

2016年センター試験本試験数学IA【5】2016100000114の図

参考図

【5】 四角形 ABCD において, AB=4 BC=2 DA=DC であり, 4 つの頂点 A B C D は同一円周上にある.対角線 AC と対角線 BD の交点を E 線分 AD 2 :3 の比に内分する点を F 直線 FE と直線 DC の交点を G とする.

 次の には,下の 0 4 のうちから当てはまるものを一つ選べ.

  ABC の大きさが変化するとき四角形 ABCD の外接円の大きさも変化することに注意すると, ABC の大きさがいくらであっても, DAC と大きさが等しい角は, DCA DBC である.

 このことより EC AE= である.次に, ACD と直線 FE に着目すると, GC DG= である.

(1) 直線 AB が点 G を通る場合について考える.

 このとき, AGD の辺 AG 上に点 B があるので, BG= である.

 また,直線 AB と直線 DC が点 G で交わり, 4 A B C D は同一円周上にあるので, DC= である.

(2) 四角形 ABCD の外接円の直径が最小となる場合について考える.

 このとき,四角形 ABCD の外接円の直径は であり, BAC= コサ ° である.

 また,直線 FE と直線 AB の交点を H とするとき, GC DG= の関係に着目して AH を求めると, AH= である.

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