2016　大学入試センター試験　追試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］　$x>1\text{，}$$y>0$の範囲にある$x\text{，}$$y$が

${(2y)}^{{\log }_{4}x}=16$$\cdots \text{①}$

を満たすとき，$A=x\sqrt{y}$の最小値を求めよう．

　$s={\log }_{2}x\text{，}$$t={\log }_{2}y$とおく．$x$が$x>1$の範囲にあるとき，$s$のとり得る値の範囲は$s>\boxed{\text{ア}}$である．また，${\log }_{2}A$を$s$と$t$を用いて表すと

${\log }_{2}A=s+{\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{イ}}}}\cdots \text{②}$

である．

　底の変換公式により

${\log }_{4}x=\boxed{\text{ウ}}s\cdots \text{③}$

が成り立つ．$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$	$\overline{)\text{1}}$　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	$\overline{)\text{2}}$　$-2$	$\overline{)\text{3}}$　$-4$
$\overline{)\text{4}}$　${\displaystyle \frac{1}{4}}$	$\overline{)\text{5}}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$\overline{)\text{6}}$　$2$	$\overline{)\text{7}}$　$4$

　$\text{①}$の両辺の$2$を底とする対数をとると，$\text{③}$により

$s(t+\boxed{\text{エ}})=\boxed{\text{オ}}\cdots \text{④}$

が成り立つ．$\text{②}\text{，}$$\text{④}$により，${\log }_{2}A$を$s$を用いて表すと

${\log }_{2}A=s+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{s}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

となる．

　$x>\boxed{\text{ア}}$であることに注意すると，${\log }_{2}A$は$s=\boxed{\text{ケ}}$のとき最小値をとることがわかる．

　したがって，$A$は$x=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{サ}}$のとき，最小値$\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$をとる．

【１】

［２］　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$C$と点$\mathrm{A}(4,3)$がある．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよう．

　円$C$の方程式は

$x^2+y^2=\boxed{\text{セ}}$$\cdots \text{⑤}$

である．$\mathrm{P}$の座標を$(s,t)\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$(x,y)$とすると，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分するので

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}+\boxed{\text{タ}}s}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}+\boxed{\text{タ}}t}{\boxed{\text{チ}}}}$

が成り立つ．よって，$x\text{，}y$は

${(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})}^2+{(y-\boxed{\text{ナ}})}^2={\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\right)}^2$$\cdots \text{⑥}$

を満たし，点$\mathrm{Q}$の軌跡は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}},\boxed{\text{ナ}})$を中心とする半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$の円である．この円を$C^{\prime }$とする．

(2)　円$C$と円$C^{\prime }$の二つの交点と原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形の面積$S$を求めよう．

　$C$と$C^{\prime }$の二つの交点を通る直線を$l$とする．$C$と$C^{\prime }$の交点の座標$(x,y)$は，等式$\text{⑤}$と$\text{⑥}$を満たす．これらの差をとることにより得られる等式は

$\boxed{\text{ネ}}x+\boxed{\text{ノ}}y=15$

であり，これが$l$の方程式である．また，$\mathrm{O}$と$l$の距離は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

　したがって，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さは$4$であり，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるとする．$\mathrm{BC}=2a$$\text{（}0<a<1\text{）}$とする．

(1)　$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ウエ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}-a}$である．

(2)　$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$$\text{（}0<x<1\text{）}$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{PQ}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{RPQ}$の面積は

$(\boxed{\text{ウエ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}-})x^{\boxed{\text{カ}}}$$\cdots \text{①}$

である．$0<x<1$に対して，三角形$\mathrm{RPQ}$と三角形$\mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$f(x)$とおく．さらに，$f(0)=f(1)=0$とおく．

　$0<x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，点$\mathrm{R}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内部または周上にある．したがって，$f(x)$は$\text{①}$に等しい．

　${\displaystyle \frac{1}{2}}<x<1$のとき，直線$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{QR}$と直線$\mathrm{BC}$との交点をそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．三角形$\mathrm{R}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$と三角形$\mathrm{ABC}$は相似であり，その相似比は$(\boxed{\text{キ}}x-\boxed{\text{ク}}):1$である．したがって

$f(x)=(\boxed{\text{ウエ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}-a})(\boxed{\text{ケコ}}{x}^{\boxed{\text{サ}}}+\boxed{\text{シ}}x-1)$

である．

　$y=f(x)$のグラフを調べることにより，$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}-a}$をとることがわかる．

(3)　座標平面において，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とおくと

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}-a}$

となる．$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$S$の最大値を求めよう．

　$S^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}{a}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}{a}^2$である．$S^2$の$0<a<1$における増減を調べることにより，$S$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フヘ}}}}$をとることがわかる．

【３】　$p=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )\text{，}$$q=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi )$とおく．

(1)　三角関数の加法定理により

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}\cos \theta$$\cdots \text{①}$

$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sin \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\cos \theta$$\cdots \text{②}$

である．

(2)　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$により

$\begin{array}{lll}pq& ={\sin }^2\theta -{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}& \cdots \text{③}\\ & ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\cos 2\theta -{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}& \end{array}$

である．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で$pq=0$となる$\theta$は$\boxed{\text{ツ}}$個あり，そのような$\theta$のうちで最小のものは${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(4)　$A={\displaystyle \frac{q}{p}}+{\displaystyle \frac{p}{q}}$とおく．$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{テ}}}}$の範囲で$A=-4$を満たす$\theta$を求めよう．

　$r=\sin \theta$とおく．$p^2+q^2$を$r$を用いて表すと，$\text{①}\text{，}\text{②}$により

$p^2+q^2=-r^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．また，$pq$を$r$を用いて表すと，$\text{③}$により

$pq=r^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．したがって，$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{テ}}}}$の範囲で$A=-4$を満たす$\theta$は

$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ニ}}}}$

である．

　また，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ニ}}}}$のとき，$p\text{，}q\text{，}r$の間には大小関係$\boxed{\text{ヌ}}$が成り立つ．$\boxed{\text{ヌ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$p<q<r$
• $\overline{)\text{1}}$　$p<r<q$
• $\overline{)\text{2}}$　$q<p<r$
• $\overline{)\text{3}}$　$q<r<p$
• $\overline{)\text{4}}$　$r<p<q$
• $\overline{)\text{5}}$　$r<q<p$

【４】　整式$P(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が$P(1+i)=-1+2i$を満たすとする．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数とする．

(1)　${(1+i)}^2=\boxed{\text{ア}}i\text{，}$${(1+i)}^3=\boxed{\text{イウ}}+\boxed{\text{エ}}i\text{，}$${(1+i)}^4=\boxed{\text{オカ}}$であるから，$P(x)$に$x=1+i$を代入すると

$\begin{array}{ll}P(1+i)=(\boxed{\text{キク}}a+c& +d-\boxed{\text{ケ}})\\ & +(\boxed{\text{コ}}a+\boxed{\text{サ}}b+c)i\end{array}$

である．したがって，$c$と$d$を，$a\text{，}$$b$を用いて表すと

$c=\boxed{\text{シス}}a-\boxed{\text{セ}}b+2$

$d=\boxed{\text{ソ}}a+\boxed{\text{タ}}b+1$

である．

(2)　$P(x)$を$2$次式$x^2-2x+2$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$R(x)$とおく．このとき，$k\text{，}l$を実数として，$R(x)=kx+l$と表せる．ここで，$P(1+i)=-1+2i$であるから，$R(1+i)=\boxed{\text{チツ}}+\boxed{\text{テ}}i$となる．よって，$k=\boxed{\text{ト}}\text{，}$$l=\boxed{\text{ナニ}}$である．

(3)　(2)の整式$Q(x)$は，$a\text{，}$$b$を用いて

$Q(x)=x^2+(a+\boxed{\text{ヌ}})x+\boxed{\text{ネ}}a+b+2$

と表せる．$2$次方程式$Q(x)=0$が負でない重解をもつための$a\text{，}$$b$の条件を求めよう．

　$2$次方程式$Q(x)=0$の判別式を考えることにより，$Q(x)=0$が重解をもつための必要十分条件は

$b={\displaystyle \frac{1}{4}}{(a-\boxed{\text{ノ}})}^2-\boxed{\text{ハ}}$$\cdots \text{①}$

であることがわかる．このとき，$Q(x)=0$の重解は

$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{2}}-\boxed{\text{フ}}$

と表せる．したがって，$2$次方程式$Q(x)=0$が負でない重解をもつための必要十分条件は，等式$\text{①}$と$a\leqq \boxed{\text{ヘホ}}$が成り立つことである．

【３】(1)　座標平面上で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．

　$k$を自然数とする．座標平面上で，三つの不等式

$y\geqq 0\text{，}$$y\leqq 3x\text{，}$$y\leqq -3x+12k$

によって表される領域を$D$とする．領域$D$に含まれる格子点の個数を求めよう．

　領域$D$は$3$点$(0,0)\text{，}$$(\boxed{\text{ア}}k,\boxed{\text{イ}}k)\text{，}$$(\boxed{\text{ウ}}k,0)$を頂点とする三角形の周および内部である．

　$k=1$のとき，$D$に含まれる格子点の個数は$\boxed{\text{エオ}}$個である．

　一般に，自然数$k$に対し，$D$に含まれる格子点の個数$p$を$k$を用いて表そう．整数$j$が$0\leqq j\leqq \boxed{\text{ア}}k$を満たすとき，$D$に含まれる格子点で$x$座標が$j$である点は$(\boxed{\text{カ}}j+\boxed{\text{キ}})$個ある．したがって，$D$に含まれる格子点で$x$座標が$0$以上$\boxed{\text{ア}}k$以下である点の個数$q$を$k$を用いて表すと

$q=\boxed{\text{ク}}{k}^2+\boxed{\text{ケ}}k+\boxed{\text{コ}}$

である．

　さらに，$D$に含まれる格子点で$x$座標が$(\boxed{\text{ア}}k+1)$以上$\boxed{\text{ウ}}k$以下である点の個数を求めて$q$に加えれば$p$が求まり

$p=\boxed{\text{サシ}}{k}^2+\boxed{\text{ス}}k+\boxed{\text{セ}}$

である．

(2)　$n$を自然数とする．四つの不等式

$y\geqq 0\text{，}$$y\leqq 3x\text{，}$$y\leqq -3x+12z\text{，}$$1\leqq z\leqq 2n$

を満たす整数の組$(x,y,z)$の個数$r$を求めよう．

　$n=1$のとき，$1\leqq z\leqq 2$であるから，(1)により$r=\boxed{\text{ソタ}}$である．

　一般に，自然数$n$に対し，$r$を$n$を用いて表すと

$r=\boxed{\text{チツ}}{n}^3+\boxed{\text{テト}}{n}^2+\boxed{\text{ナニ}}n$

である．

【４】　正八角形${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6{\mathrm{P}}_7$を考える．$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_7}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　正八角形の一つの内角は$\boxed{\text{アイウ}}\mathrm{°}$である．また，$\angle {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_{\boxed{\text{エ}}}=90\mathrm{°}$である．

　以下の，(2)の$\boxed{\text{オ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ケ}}$および(3)の$\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(2)　$k=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$7$に対して，ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_k}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_3}=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_4}=\boxed{\text{キ}}$

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_5}=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_6}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_7}=\overrightarrow{b}$

である．

(3)　$k=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$7$に対して，対角線${\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+3}$と対角線${\mathrm{P}}_{k+1}{\mathrm{P}}_{k+4}$の交点を${\mathrm{Q}}_k$とする．ただし，${\mathrm{P}}_8\text{，}$${\mathrm{P}}_9\text{，}$${\mathrm{P}}_{10}\text{，}$${\mathrm{P}}_{11}$は，それぞれ${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$を表すものとする．

　このとき，$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_6}=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_7}=\boxed{\text{サ}}$である．

(4)　$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7}=(\sqrt{\boxed{\text{シ}}}-\boxed{\text{ス}})\overrightarrow{a}$である．したがって，正八角形${\mathrm{Q}}_0{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4{\mathrm{Q}}_5{\mathrm{Q}}_6{\mathrm{Q}}_7$の面積は，正八角形${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6{\mathrm{P}}_7$の面積の$(\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}})$倍である．

【５】　ある母集団の確率分布が平均$m\text{，}$標準偏差$9$の正規分布であるとする．

　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　$m=50$のときに，この母集団から無作為に抽出される標本の値を$X$とする．このとき

$P(X\geqq 45.5)=0.\boxed{\text{アイウエ}}\text{，}$$P(X\geqq 63.5)=0.\boxed{\text{オカキク}}$

が成り立つ．

(2)　$m=50$のときに，この母集団から無作為に大きさ$144$の標本を抽出すると，その標本平均（期待値）は$\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$標準偏差は$\boxed{\text{サ}}.\boxed{\text{シス}}$である．

(3)　母平均$m$がわかっていないときに，無作為に大きさ$144$の標本を抽出したところ，その標本平均の値は$51.0$であった．母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は$\boxed{\text{セソ}}.\boxed{\text{タ}}\leqq m\leqq \boxed{\text{チツ}}.\boxed{\text{テ}}$である．

(4)　母平均$m$がわかっていないときに，(3)と同様に，無作為に大きさ$144$の標本を抽出して母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めることを，$304$回繰り返す．このとき，それらの信頼区間のうち，母平均$m$を含むものの数を$Y$とすると，確率変数$Y$は二項分布に従うので，平均は$\boxed{\text{トナニ}}.\boxed{\text{ヌ}}\text{，}$標準偏差は$\boxed{\text{ネ}}.\boxed{\text{ノ}}$である．

　$Y\leqq 285$となる確率の近似値を求めよう．ここで

$P(Y\leqq 285)$$=P({\displaystyle \frac{Y=\boxed{\text{トナニ}}.\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}.\boxed{\text{ノ}}}}\leqq -\boxed{\text{ハ}}.\boxed{\text{ヒフ}})$

である．標準正規分布に従う確率変数を$Z$とすると，$304$は十分に大きいので，求める確率の近似値は正規分布表から次のように求められる．

$P(Z\leqq -\boxed{\text{ハ}}.\boxed{\text{ヒフ}})=0.\boxed{\text{ヘホ}}$