2016 旭川医科大学 前期

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2016 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  In= 0π4 tan nx dx n=1 2 3 とおく.このとき,次の問いに答えよ.

問1  tanx x+1 -π 4 (0 x π4 ) が成り立つことを示せ.

問2  limn In を求めよ.

問3  In +In +2 の値を n を用いて表せ.

問4 問3までの結果を用いて,無限級数 n=1 (-1 )n +12 n の和を求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【2】 原点 O を中心とする単位円周上に A ( -1,0 ) B (1 ,0) および y >0 を満たす動点 C (x, y) がある. BAC= θ とするとき,次の問いに答えよ.ただし, 0<θ < π2 とする.

問1  ABC の面積を θ を用いて表せ.

問2  ABC の内接円 O1 の半径 r 1 θ を用いて表せ.

問3  x 軸,辺 AC の延長線,および辺 BC とそれぞれ接する円 O 2 を考える. x 軸上の接点を D AC C 側の延長上の接点を E そして辺 BC 上の接点を F とする.

(1)  AD の長さを θ を用いて表せ.

(2) 円 O 2 の半径 r 2 θ を用いて表せ.

(3) 円 O 1 の中心を I O 2 の中心を J とする. r2r 1= 2 となるとき, OIJ の面積を求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【3】  a を正の実数とする.点 P は曲線 Ca y=e ax 上を,点, Q は直線 y =x をそれぞれ動く.このとき,次の問いに答えよ.

問1 曲線 C a と直線 y =x が共有点をもたないような a の値の範囲を求めよ.

問2 問1で求めた範囲にある a に対して,線分 PQ の長さの最小値を d (a ) とする. PQ の長さが d (a ) となる曲線 C a 上の点を Pa とする.

(1)  d( a) を求めよ.

(2) 点 Pa における曲線 C a の接線の傾きを求めよ.

(3)  a が問1で求めた範囲を動くときの点 Pa の軌跡を求め,その概形を図示せよ.

問3  d( a) の最大値と,そのときの a の値を求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【4】  A の袋には赤玉 5 個,白玉 1 個が入っている. B の袋には赤玉 2 個,白玉 2 個が入っている.この 2 つの袋は見た目では区別できないものとする.このとき,次の確率を求めよ.

問1  2 つの袋からそれぞれ 2 個ずつ,合計 4 個の玉を取り出すとき,赤玉が 3 個以上である確率

問2 どちらか一方の袋を選んで 1 個の玉を取り出すとき,それが赤玉である確率

問3 どちらか一方の袋を選んで 2 個の玉を取り出すとき, 1 個でも白玉があれば「袋 B を選んだ」と判断する.袋 A を選んで取り出したときに「袋 B を選んだ」と判断してしまう確率

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