2016 京都府立医科大学 前期

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2016 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  n 2 以上の整数とする.変量 x についてのデータの値を x k 1k n とし,変量 y についてのデータの値を y k 1k n とする.変量 z はデータの値が xk yk 1 kn である変量を表す.

(1) 変量 x y n 個の値の組を ( xk, yk ) 1k n としたときの x y の共分散 s xy (偏差の積の平均)について

sxy =z - x y

が成り立つことを証明せよ.ここで x y z はそれぞれ変量 x y z についてのデータの値の平均値を表す.

  0 以上の整数 a 1 以上の整数 b に対し, a b で割った余りを Rb (a ) と表す. l m 2 以上 n 以下の整数とする.変量 x y n 個の値の組を

(x k,y k) =( Rl (k- 1)+ 1,Rm ( k-1) +1) 1 kn

としたときの x y の相関係数を r とする.

(2)  l n の約数とし, m=n であるとき, r を求めよ.

(3)  n=l (l+ 1) とし, m=l+ 1 であるとき, r を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  z 0 でない複素数とし, α= 34 (z +z ) β =3 4 ( 1z+ 1 z ) とおく.ただし z z に共役な複素数である.

(1)  β=0 となる z はどのような複素数か述べよ.

(2)  α β がともに自然数となる z をすべて求めよ.

(3) 複素数平面上において,(2)で求めた z に対応する点のすべてを周または内部に含む円を考え,そのような円のうち最小の面積をもつものを C とする. C の中心を表す複素数と C の半径を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  a b を正の実数とし,媒介変数表示

x=a cos2 t y= bsin 3t (0 t π3 )

で表される x y 平面上の曲線を C とする.

(1) 実数 θ に対して, sin3 θ=3 sinθ -4sin 3θ であることを証明せよ.

(2)  y x を用いて表せ.

(3)  x の関数 y の増減を調べ,曲線 C の概形をかけ.

(4) 曲線 C x 軸とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面上で x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.すべての整数 l m に対し,直線 x =l と直線 y =m を引き, xy 平面を格子点を頂点とする一辺の長さが 1 の正方形の集まりに分割する.その一つ一つの正方形(格子点を頂点とする 1 辺の長さが 1 の正方形)の内部を区画と呼ぶ.正の実数 k に対して原点を通る直線 Lk y=k x をとり, Lk が通る区画について考える.ここで L k が区画を通るとは,直線 L k と区画が共有点をもつことをいう.自然数 n に対して,不等式 n -1<x <n で表される x y 平面上の領域を D n とする. Dn に含まれ,直線 L k が通る区画の個数を a n とおく.

 以下 k は無理数とする.

(1) 直線 L k は原点以外に格子点を通らないことを証明せよ.

(2)  k<a n<k+ 2 であることを証明せよ.

(3)  N を自然数とするとき,極限 limN 1N n=1 Na n を求めよ.

(4)  0<k <1 とする.自然数 N に対し, N 以下の自然数 n an k+1 となる n の個数を A N とおく.極限 limN ANN を求めよ.

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