2016 和歌山県立医科大学 前期

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2016 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1)  5 以下の異なる 3 個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか.

(2) 自然数 m n m <n のようにとる. m 個の自然数 a1 a 2 am

1a 1<a 2< <am n

のようにとり,和 a1+ a2+ +a m を考える.この形で表される自然数は何個あるか.

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易□ 並□ 難□

【2】  t を実数とし, a=t 3+2 (2 +6) t2 +3( 1+2 6) t+2 (2 +6) とする.点 ( 2,-2 ) を通り,傾き a の直線を l とする. l と放物線 y =x2 が交わらない t の範囲を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 自然数の数列 { an } を次のように定める.

a1 =1 a 2=1 an +2= an+ 1+6 an n=1 2 3

次の問いに答えよ.

(1) 自然数 n に対し, an +2- pa n+1 =q (a n+1 -p an ) をみたすような数 p q を求めることにより,数列 { an } の一般項を求めよ.

(2) 自然数 m n に対し, am+ n+1 =am +1 an+ 1+6 am an が成り立つことを証明せよ.

(3) 自然数 m n に対し, m n で割り切れるとき, am a n で割り切れることを証明せよ.

(4)  a12 を素因数分解せよ.

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易□ 並□ 難□

【4】(1) 異なる複素数 α β に対して, z -αz -β が純虚数となるような z は,複素数平面上でどのような図形を描くか.

(2)  2 次方程式 x2-2 x+4 =0 の解を α β とする.ただし, α の虚部は正であるとする.等式

arg z -α2 z-β 2= π2

をみたす z が,複素数平面上で描く図形を図示せよ.

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