2017 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IAMathJax

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2017 大学入試センター試験 本試

数学I

配点15点

数学IAの類題.数学IAはキクまで

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  x は正の実数で, x2 + 4x2 =9 を満たすとする.このとき

(x + 1x )2 = アイ

であるから, x+ 2x= アイ である.さらに

x 3+ 8x3 =( x+ 2x) (x2 + 4x2 - ) = オカ

である.また

x4 + 16x4 = キク

である.

 また, (x - 2x )2 = である. x- 2x< 0 のときは x -2 x=- であり,したがって,このとき

x= コサ -

である.

2017 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

数学IAは解答記号がケからスまで

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 実数 x に関する 2 つの条件 p q

px =1

qx 2=1

とする.また,条件 p q の否定をそれぞれ p q で表す.

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返しえらんでもよい.

q p であるための

p q であるための

p または q )は q であるための

p かつ q )は q であるための

0  必要条件だが十分条件でない

1  十分条件だが必要条件でない

2  必要十分条件である

3  必要条件でも十分条件でもない

(2) 実数 x に関する条件 r

rx >0

とする.次の に当てはまるものを,下の 0 7 のうちから一つ選べ.

3 つの命題

A :「 p かつ q r

B :「 q r

C :「 q p

の真偽について正しいものは である.

0   A は真, B は真, C は真

1   A は真, B は真, C は偽

2   A は真, B は偽, C は真

3   A は真, B は偽, C は偽

4   A は偽, B は真, C は真

5   A は偽, B は真, C は偽

6   A は偽, B は偽, C は真

7   A は偽, B は偽, C は偽

2017 大学入試センター試験 本試

数学I

配点25点

数学IA【1】〔3〕の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a は定数とする.

(1)  f( x)= (x -3 a2- 5a )2 -( 3a2 -4) 2 とおく.このとき

f( x)= (x- 5a- ) (x - a2- 5a+ )

である.したがって, 2 次関数 y =f (x ) のグラフが原点を通るのは, a の値が小さい方から

a=- -

のときである.

(2)  g( x)= x2- 2( 3a2 +5 a) x+18 a4+ 30a 3+49 a2+ 16 とおく. 2 次関数 y =g( x) のグラフの頂点は

( a2+ a, a4+ スセ a2+ ソタ )

である. a が実数全体を動くとき,頂点の x 座標の最小値は - チツ テト である.次に, t=a 2 とおくと,頂点の y 座標は

t2+ スセ t+ ソタ

と表せる.したがって, a が実数全体を動くとき,頂点の y 座標の最小値は ナニ である.また,上の式

( t+ ) 2

と変形できる.頂点の y 座標が 10000 以下になる a の値の範囲は

ノハ a

である.

2017 大学入試センター試験 本試

数学I

配点30点

数学IA【2】〔1〕の類題.数学IAは(3)がない

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=3 -1 BC= 3+1 ABC =60 ° とする.

(1)  AC= であるから, ABC の外接円の半径は であり

sin BAC= +

である.ただし, の解答の順序は問わない.

(2) 辺 AC 上に点 D を, ABD の面積が 26 になるようにとるとき

ABAD = -

であるから, AD= である.

(3) 点 C から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を E とすると, CE= + であるから

cos ACE= +

である.ただし, の解答の順序は問わない.

 また

cos ACB= +

であることから, ACE= ナニ ° である.ただし, の解答の順序は問わない.

 したがって

tan ナニ °= -

である.

2017 大学入試センター試験 本試

数学I

配点20点

数学IA【2】〔2〕の類題.数学IAは(4)がない

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 スキージャンプは,飛距離および空中姿勢の美しさを競う競技である.選手は斜面を滑り降り,斜面の端から空中に飛び出す.飛距離 D (単位は m )から得点 X が決まり,空中姿勢から得点 Y が決まる.ある大会における 58 回のジャンプについて考える.

(1) 得点 X 得点 Y および飛び出すときの速度 V (単位は km /h )について,図1の 3 つの散布図を得た.

2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図 2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図
2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図

図1

(出典:国際スキー連盟のWebベージにより作成)

 次の に当てはまるものを,下の 0 6 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 図1から読み取れることとして正しいものは, である.

0   X V の間の相関は, X Y の間の相関より強い.

1   X Y の間には正の相関がある.

2   V が最大のジャンプは, X も最大である.

3   V が最大のジャンプは, Y も最大である.

4   Y が最小のジャンプは, X は最小ではない.

5   X 80 以上のジャンプは,すべて V 93 以上である.

6   Y 55 以上かつ V 94 以上のジャンプはない.

(2) 得点 X は,飛距離 D から次の計算式によって算出される.

X=1.80 ×(D -125.0) +60.0

 次の にそれぞれ当てはまるものを,下の 0 6 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返しえらんでもよい.

X の分散は, D の分散の 倍になる.

X Y の共分散は, D Y の共分散の 倍である.ただし,共分散は, 2 つの変量のそれぞれにおいて平均値からの偏差を求め,偏差の積の平均値として定義される.

X Y の相関係数は, D Y の相関係数の 倍である.

(3)  58 回のジャンプは 29 名の選手が 2 回ずつ行ったものである. 1 回目の X +Y (得点 X と得点 Y の和)の値に対するヒストグラムと 2 回目の X +Y の値に対するヒストグラムは図2の A B のうちのいずれかである.また, 1 回目の X +Y の値に対する箱ひげ図と 2 回目の X +Y の値に対する箱ひげ図は図3の a b のうちのいずれかである.ただし, 1 回目の X +Y の最小値は 108.0 であった.

A

2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図

B

2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図

図2

(出典:国際スキー連盟のWebページにより作成)

a 2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図
 
b 2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図
 

図3

(出典:国際スキー連盟のWebページにより作成)

 次の に当てはまるものを,下の表の 0 3 のうちから一つ選べ.

  1 回目の X +Y の値について,ヒストグラムおよび箱ひげ図の組合せとして正しいものは, である.

  0 1 2 3
ヒストグラム A A B B
箱ひげ図 a b a b

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

 図3から読み取れることとして正しいものは, である.

0   1 回目の X +Y の四分位範囲は, 2 回目の X +Y の四分位範囲より大きい.

1   1 回目の X +Y の中央値は, 2 回目の X +Y の中央値より大きい.

2   1 回目の X +Y の最大値は, 2 回目の X +Y の最大値より小さい.

3   1 回目の X +Y の最小値は, 2 回目の X +Y の最小値より小さい.

(4)  58 回のジャンプでは,斜面の高さが異なる 3 つの地点がスタート位置として用いられた.これらを「高」,「中」,「低」と表し,スタート位置に応じて得点 X から得点 X を次のように定める.

スタート位置が「高」のとき, X= X

スタート位置が「中」のとき, X= X+3.8

スタート位置が「低」のとき, X= X+7.6

 得点 X および X について,スタート位置ごとに箱ひげ図を描いたものが図4である.

2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図
2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図

図4

(出典:国際スキー連盟のWebページより作成)

 次の に当てはまるものを,下の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 図4に関する記述として正しいものは, である.

0   X および X の両方において,スタート位置が高いほど,中央値も高くなっている.

1   X ではスタート位置が高いほど中央値も高くなっているのに対し, X ではスタート位置によらず中央値が 66 以上 70 未満の区間に入っている.

2  どのスタート位置の場合でも, X の四分位範囲と X の四分位範囲は等しい.

3   X および X の両方において,スタート位置が高いほど第 1 四分位数が大きくなっている.

4   X および X の両方において,スタート位置が高いほど第 3 四分位数が大きくなっている.

2017 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点10点

数学Iの類題.数学Iでは続きの設問がある

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕  x は正の実数で, x2 + 4x2 =9 を満たすとする.このとき

(x + 1x )2 = アイ

であるから, x+ 2x= アイ である.さらに

x 3+ 8x3 =( x+ 2x) (x2 + 4x2 - ) = オカ

である.また

x4 + 16x4 = キク

である.

2017 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[3]  a を定数とし, g( x)= x2- 2( 3a2 +5 a) x+18 a4+ 30a 3+49 a2+ 16 とおく. 2 次関数 y =g( x) のグラフの頂点は

( a2+ a, a4+ チツ a2+ テト )

である.

  a が実数全体を動くとき,頂点の x 座標の最小値は - ナニ ヌネ である.次に, t=a 2 とおくと,頂点の y 座標は

t2+ チツ t+ テト

と表せる.したがって, a が実数全体を動くとき,頂点の y 座標の最小値は ノハ である.

2017 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔1〕  ABC において, AB=3 -1 BC= 3+1 ABC =60 ° とする.

(1)  AC= であるから, ABC の外接円の半径は であり

sin BAC= +

である.ただし, の解答の順序は問わない.

(2) 辺 AC 上に点 D を, ABD の面積が 26 になるようにとるとき

ABAD = -

であるから, AD= である.

2017 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点15点

数学Iの類題.数学Iは(4)がある

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[2] スキージャンプは,飛距離および空中姿勢の美しさを競う競技である.選手は斜面を滑り降り,斜面の端から空中に飛び出す.飛距離 D (単位は m )から得点 X が決まり,空中姿勢から得点 Y が決まる.ある大会における 58 回のジャンプについて考える.

(1) 得点 X 得点 Y および飛び出すときの速度 V (単位は km /h )について,図1の 3 つの散布図を得た.

2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図 2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図
2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図

図1

(出典:国際スキー連盟のWebベージにより作成)

 次の に当てはまるものを,下の 0 6 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 図1から読み取れることとして正しいものは, である.

0   X V の間の相関は, X Y の間の相関より強い.

1   X Y の間には正の相関がある.

2   V が最大のジャンプは, X も最大である.

3   V が最大のジャンプは, Y も最大である.

4   Y が最小のジャンプは, X は最小ではない.

5   X 80 以上のジャンプは,すべて V 93 以上である.

6   Y 55 以上かつ V 94 以上のジャンプはない.

(2) 得点 X は,飛距離 D から次の計算式によって算出される.

X=1.80 ×(D -125.0) +60.0

 次の にそれぞれ当てはまるものを,下の 0 6 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返しえらんでもよい.

X の分散は, D の分散の 倍になる.

X Y の共分散は, D Y の共分散の 倍である.ただし,共分散は, 2 つの変量のそれぞれにおいて平均値からの偏差を求め,偏差の積の平均値として定義される.

X Y の相関係数は, D Y の相関係数の 倍である.

(3)  58 回のジャンプは 29 名の選手が 2 回ずつ行ったものである. 1 回目の X +Y (得点 X と得点 Y の和)の値に対するヒストグラムと 2 回目の X +Y の値に対するヒストグラムは図2の A B のうちのいずれかである.また, 1 回目の X +Y の値に対する箱ひげ図と 2 回目の X +Y の値に対する箱ひげ図は図3の a b のうちのいずれかである.ただし, 1 回目の X +Y の最小値は 108.0 であった.

A

2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図

B

2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図

図2

(出典:国際スキー連盟のWebページにより作成)

a 2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図
 
b 2017年センター試験本試験【4】2017100000105の図
 

図3

(出典:国際スキー連盟のWebページにより作成)

 次の に当てはまるものを,下の表の 0 3 のうちから一つ選べ.

  1 回目の X +Y の値について,ヒストグラムおよび箱ひげ図の組合せとして正しいものは, である.

  0 1 2 3
ヒストグラム A A B B
箱ひげ図 a b a b

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

 図3から読み取れることとして正しいものは, である.

0   1 回目の X +Y の四分位範囲は, 2 回目の X +Y の四分位範囲より大きい.

1   1 回目の X +Y の中央値は, 2 回目の X +Y の中央値より大きい.

2   1 回目の X +Y の最大値は, 2 回目の X +Y の最大値より小さい.

3   1 回目の X +Y の最小値は, 2 回目の X +Y の最小値より小さい.

2017 大学入試センター試験 本試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 あたりが 2 本,はずれが 2 本の合計 4 本からなるくじがある. A B C 3 人がこの順に 1 本ずつくじを引く.ただし, 1 度引いたくじはもとに戻さない.

(1)  A B の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 E 1 の確率は, である.

(2) 次の に当てはまるものを,下の 0 5 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

  A B C 3 人で 2 本のあたりのくじを引く確率 E は, 3 つの背反な事象 の和集合である.

0   A がはずれのくじを引く事象

1   A だけがはずれのくじを引く事象

2   B がはずれのくじを引く事象

3   B だけがはずれのくじを引く事象

4   C がはずれのくじを引く事象

5   C だけがはずれのくじを引く事象

 また,その和事象の確率は である.

(3) 事象 E 1 が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率は, である.

(4) 次の に当てはまるものを,下の 0 5 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

  B C の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 E 2 は, 3 つの背反な事象 の和事象である.

0   A がはずれのくじを引く事象

1   A だけがはずれのくじを引く事象

2   B がはずれのくじを引く事象

3   B だけがはずれのくじを引く事象

4   C がはずれのくじを引く事象

5   C だけがはずれのくじを引く事象

 また,その和事象の確率は である.他方, A C の少なくとも一方があたりのくじをひく事象 E 3 の確率は, である.

(5) 次の に当てはまるものを,下の 0 6 のうちから一つ選べ.

 事象 E 1 が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 p1 事象 E 2 が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 p2 事象 E 3 が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 p 3 の間の大小関係は, である.



2017 大学入試センター試験 本試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】(1) 百の位の数が 3 十の位の数が 7 一の位の数が a である 3 けた の自然数を 37a と表記する.

  37a 4 で割り切れるのは

a=

のときである.ただし, の解答の順序は問わない.

(2) 千の位の数が 7 百の位の数が b 十の位の数が 5 一の位の数が c である 4 桁の自然数を 7 b5c と表記する.

  7b5c 4 でも 9 でも割り切れる b c の組は,全部で 個ある.これらのうち, 7b5c の値が最小になるのは b = c= のときで, 7b5c の値が最大になるのは b = c= のときである.

 また, 7b5c =( 6×n) 2 となる b c と自然数 n

b= c= n = コサ

である.

(3)  1188 の正の約数は全部で シス 個ある.これらのうち, 2 の倍数は セソ 個, 4 の倍数は 個ある.

  1188 のすべての正の約数の積を 2 進法で表すと,末尾には 0 が連続して チツ 個並ぶ.

2017 大学入試センター試験 本試

数学IA

【3】〜【5】から2題選択

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】  ABC において, AB=3 BC=8 AC=7 とする.

(1) 辺 AC 上に点 D AD =3 となるようにとり, ABD の外接円と直線 BC の交点で B と異なるものを E とする.このとき, BCCE = アイ であるから, CE= である.

 直線 AB と直線 DE の交点を F とするとき, BF AF= オカ であるから, AF= クケ である.

(2)  ABC= サシ ° である. ABC の内接円の半径は であり, ABC の内心を I とすると BI = である.

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