2017　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕

(1)　$k={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}+1}}$とする．分母を有理化すると

$k=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}}$

となる．また，$k$の整数部分は$\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$x$に関する不等式

$6\geqq |(\sqrt{3}+1)x-12|$

を解くと

$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-\boxed{\text{キ}}\leqq x$$\leqq \boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}$

となり，この不等式を満たす整数は全部で$\boxed{\text{サ}}$個ある．

(3)　$a$を正の実数とし，$x$に関する不等式

$a\geqq |(\sqrt{3}+1)x-12|$

を考える．この不等式を満たす整数がちょうど$1$個になるとき，その整数は$\boxed{\text{シ}}$であり，そのときの$a$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{スセ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}+\boxed{\text{タ}}\leqq a$$<\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}-\boxed{\text{テ}}$

である．

【１】

〔２〕

(1)　次の$\boxed{\text{ト}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

命題$\mathrm{A}$「$a$が無理数で$1+a^2=b^2$ならば，$b$は無理数である」

命題$\mathrm{B}$「$a$が有理数で$1+a^2=b^2$ならば，$b$は有理数である」

の真偽について正しいものは，$\boxed{\text{ト}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　命題$\mathrm{A}$は真，命題$\mathrm{B}$は真

$\overline{)\text{1}}$　命題$\mathrm{A}$は真，命題$\mathrm{B}$は偽

$\overline{)\text{2}}$　命題$\mathrm{A}$は偽，命題$\mathrm{B}$は真

$\overline{)\text{3}}$　命題$\mathrm{A}$は偽，命題$\mathrm{B}$は偽

(2)　次の$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　実数$a\text{，}$$b$について述べた文のうち，正しいものは$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　$a-1\leqq b\leqq a+1$は，$a=b$であるための十分条件である．

$\overline{)\text{1}}$　$a-2\leqq b\leqq a+2$は，$a-1\leqq b\leqq a+1$であるための必要条件である．

$\overline{)\text{2}}$　命題「$\text{「}a-1\leqq b\leqq a+1⟹(a=1\text{かつ}b=1)\text{」}$の逆は$\text{「}(a=1\text{または}b=1)⟹a-1\leqq b\leqq a+1\text{」}$である．

$\overline{)\text{3}}$　命題$\text{「}a-1\leqq b\leqq a+1⟹(a=1\text{かつ}b=1)\text{」}$の待遇は$\text{「}(a\ne 1\text{または}b\ne 1)⟹(a-1>b\text{または}b>a+1)\text{」}$である．

【２】　$a$を定数とし，次の$2$つの関数を考える．

$f(x)=(1-2a)x^2+2x-a-2$

$g(x)=(a+1)x^2+ax-1$

(1)　関数$y=g(x)$のグラフが直線になるのは，$a=\boxed{\text{アイ}}$のときである．このとき，関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸との交点の$x$座標は$\boxed{\text{ウエ}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが平行移動によって重なるのは，$a=\boxed{\text{キ}}$のときである．このとき，関数$y=(x)$のグラフは関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ク}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{ケ}}$だけ平行移動したものになっている．

(3)　方程式$f(x)+g(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつのは，$a$の値が

$\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$

のときである．

(4)　不等式

$f(x)+g(x)\geqq -2a{x}^2+5(a+2)x+a^2-6$

を満たす$x$の値の範囲は，$a=\boxed{\text{ソタ}}$のとき$1\leqq x\leqq 3$となり，$a=\boxed{\text{チツ}}$のとき$x\leqq 1\text{，}$$3\leqq x$となる．

【３】　点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円がある．点$\mathrm{A}$から距離$2$の位置にある点$\mathrm{B}$から円$A$に接線を$1$本引く．その接線と円$A$との接点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$が円$A$の直径となるようにとる．

　このとき

$\mathrm{BC}=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\text{，}$$\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$

$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$\tan \angle \mathrm{BAD}=\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

である．

　また，$▵\mathrm{ABD}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．その外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\cos \angle \mathrm{BOD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\sin \angle \mathrm{AOC}}{\sin \angle \mathrm{COD}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

　ところで，$▵\mathrm{BOD}$の面積は$▵\mathrm{BCD}$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$倍であり，$\cos \angle \mathrm{ODA}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}}{\boxed{\text{トナ}}}}\text{，}$$\mathrm{CO}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

　したがって，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{CO}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{EO}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハヒ}}}}{\boxed{\text{フヘ}}}}$である．

【４】

〔１〕　$1$組から$3$組の生徒$100$人に対し，テストを$3$回行った．$1$回目と$2$回目のテストは$100$点満点，$3$回目は$200$点満点である．

(1)　次の表１および図１は，$1$回目のテストの組ごとの得点に対する度数分布表および箱ひげ図である．

　次の$\boxed{\text{ア}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　$1$組から$3$組の$1$回目のテストの結果と対応する図１の箱ひげ図の組み合わせは$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　次の$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　表１の度数分布表を分析して，$1$回目のテストについて次の$3$つを結論としてまとめた．

結論１：　$100$人の得点について，$55$点以上$70$点未満の得点をとった生徒の割合は$6$割を超える．

結論２：　$60$点以上$70$点未満の得点層の生徒数に対する，各組のこの得点層の生徒数の割合を比較する．このとき，$3$組の割合が最も低い．

結論３：　各組の生徒数に対する，各組の$45$点以上$55$点未満の得点層の生徒数の割合を比較する．このとき，$1$組における値が最も大きい．

　このとき．$3$つの結論の正誤について正しい組み合わせは$\boxed{\text{イ}}$である．

(3)　次の表２は，$1$回目のテストの得点と$2$回目のテストの得点の標準偏差と共分散の値であり，図２は，この$2$つのテストの得点の散布図と箱ひげ図である．ただし，表２の数値は正確な値であり，四捨五入されていないものとする．また，図２の散布図の点は重なっていることもある．

　次の$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　表２および図２の散布図と箱ひげ図について述べた文として誤っているものは，$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　四分位範囲は，$2$回目の得点のほうが小さい．

$\overline{)\text{1}}$　表２から$1$回目の得点と$2$回目の得点の相関係数を計算すると，$0.65$以上になる．

$\overline{)\text{2}}$　$1$回目の得点が$55$点未満であった生徒は全員，$1$回目の得点より$2$回目の得点のほうが高い．

$\overline{)\text{3}}$　$2$回目の得点が$70$点以上であった生徒は，$25$人以上いる．

$\overline{)\text{4}}$　$2$回目の得点が$1$回目の得点より$10$点以上高い生徒は全員，$1$回目の得点が$55$点未満である．

$\overline{)\text{5}}$　$65$点以上の得点をとった生徒の人数は，$1$回目のテストより$2$回目のテストのほうが多い．

(4)　次の表３は，$1$回目のテストの得点と$3$回目のテストの得点の平均点と標準偏差の値であり，図３は，この$2$つのテストの得点の散布図である．ただし，表３の数値は正確な値であり，四捨五入されていないものとする．また，図３の散布図の点は重なっていることもある．

　ここで，$2$つのテストの得点をそれぞれ，次の計算式により新しい得点に換算した．

$\text{新しい得点}=50+10\times {\displaystyle \frac{\text{得点の偏差}}{\text{標準偏差}}}\cdots$(＊)

　次の$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　$1$回目の得点を式(＊)により換算した新しい得点と$3$回目の得点を式(＊)により換算した新しい得点の散布図は$\boxed{\text{オ}}$である．

【４】

〔２〕　$\mathrm{A}$組$m$人と$\mathrm{B}$組$n$人の生徒に対して行ったテストの得点を

$\mathrm{A}$組　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_m$

$\mathrm{B}$組　$y_1\text{，}{y}_2\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$

と書く．各組の平均点を$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}\text{，}$分散を${S_{\mathrm{A}}}^2\text{，}$${S_{\mathrm{B}}}^2$とする．また，$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組を合わせた$(m+n)$人の得点の平均点を$\bar{w}\text{，}$分散を$S^2$とする．これらの間に一般に成り立つ関係について調べる．

　$\mathrm{A}$組の得点と$\bar{w}$の差の$2$乗の和

${(x_1-\bar{w})}^2+{(x_2-\bar{w})}^2+\cdots +{(x_m-\bar{w})}^2$

を，$\bar{x}\text{，}$${S_{\mathrm{A}}}^2\text{，}$$\bar{w}$を用いて表すと$\boxed{\text{カ}}$である．ただし，${S_{\mathrm{A}}}^2$は

${S_{\mathrm{A}}}^2={\displaystyle \frac{1}{m}}({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_m}^2)-{(\bar{x})}^2$

で計算できる．$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　${S_{\mathrm{A}}}^2+{(\bar{x})}^2+{(\bar{w})}^2$
• $\overline{)\text{1}}$　${S_{\mathrm{A}}}^2+{(\bar{x}-\bar{w})}^2$
• $\overline{)\text{2}}$　$m{S_{\mathrm{A}}}^2+m\{{(\bar{x})}^2+{(\bar{w})}^2\}$
• $\overline{)\text{3}}$　$m{S_{\mathrm{A}}}^2+m{(\bar{x}-\bar{w})}^2$

　$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組の生徒を合わせた$(m+n)$人の得点の分散$S^2$は$\boxed{\text{キ}}$に等しい．$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　${\displaystyle \frac{m{S_{\mathrm{A}}}^2+n{S_{\mathrm{B}}}^2+(m+n)\{{(\bar{x}+\bar{y})}^2-{(\bar{w})}^2\}}{m+n}}$

$\overline{)\text{1}}$　${\displaystyle \frac{m{S_{\mathrm{A}}}^2+n{S_{\mathrm{B}}}^2-(m+n)\{{(\bar{x})}^2+{(\bar{y})}^2-{(\bar{w})}^2\}}{m+n}}$

$\overline{)\text{2}}$　${\displaystyle \frac{m{S_{\mathrm{A}}}^2+n{S_{\mathrm{B}}}^2-\{m{(\bar{x})}^2+n{(\bar{y})}^2\}+(m+n){(\bar{w})}^2}{m+n}}$

$\overline{)\text{3}}$　${\displaystyle \frac{m{S_{\mathrm{A}}}^2+n{S_{\mathrm{B}}}^2+m{(\bar{x})}^2+n{(\bar{y})}^2+(m+n){(\bar{w})}^2}{m+n}}$

$\overline{)\text{4}}$　${\displaystyle \frac{m{S_{\mathrm{A}}}^2+n{S_{\mathrm{B}}}^2+m{(\bar{x})}^2+n{(\bar{y})}^2-(m+n){(\bar{w})}^2}{m+n}}$

【１】〔１〕

(1)　$k={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}+1}}$とする．分母を有理化すると

$k=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}}$

となる．また，$k$の整数部分は$\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$x$に関する不等式

$6\geqq |(\sqrt{3}+1)x-12|$

を解くと

$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-\boxed{\text{キ}}\leqq x$$\leqq \boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}$

となり，この不等式を満たす整数は全部で$\boxed{\text{サ}}$個ある．

【１】

〔３〕　$a$を定数とし，次の$2$つの関数を考える．

$f(x)=(1-2a)x^2+2x-a-2$

$g(x)=(a+1)x^2+ax-1$

(1)　関数$y=g(x)$のグラフが直線になるのは，$a=\boxed{\text{ソタ}}$のときである．このとき，関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸との交点の$x$座標は$\boxed{\text{チツ}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(2)　方程式$f(x)+g(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつのは，$a$の値が

$\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{ノ}}$

のときである．

【２】

〔１〕　点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円がある．点$\mathrm{A}$から距離$2$の位置にある点$\mathrm{B}$から円$A$に接線を$1$本引く．その接線と円$A$との接点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$が円$A$の直径となるようにとる．

　このとき

$\mathrm{BC}=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\text{，}$$\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

　また，$▵\mathrm{ABD}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．その外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\cos \angle \mathrm{BOD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\sin \angle \mathrm{AOC}}{\sin \angle \mathrm{COD}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

【２】

〔２〕　$1$組から$3$組の生徒$100$人に対し，テストを$3$回行った．$1$回目と$2$回目のテストは$100$点満点，$3$回目は$200$点満点である．

(1)　次の表１および図１は，$1$回目のテストの組ごとの得点に対する度数分布表および箱ひげ図である．

　次の$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　$1$組から$3$組の$1$回目のテストの結果と対応する図１の箱ひげ図の組み合わせは$\boxed{\text{ス}}$である．

(2)　次の表２は，$1$回目のテストの得点と$2$回目のテストの得点の標準偏差と共分散の値であり，図２は，この$2$つのテストの得点の散布図と箱ひげ図である．ただし，表２の数値は正確な値であり，四捨五入されていないものとする．また，図２の散布図の点は重なっていることもある．

　次の$\boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　表２および図２の散布図と箱ひげ図について述べた文として誤っているものは，$\boxed{\text{セ}}\text{，}\boxed{\text{ソ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　四分位範囲は，$2$回目の得点のほうが小さい．

$\overline{)\text{1}}$　表２から$1$回目の得点と$2$回目の得点の相関係数を計算すると，$0.65$以上になる．

$\overline{)\text{2}}$　$1$回目の得点が$55$点未満であった生徒は全員，$1$回目の得点より$2$回目の得点のほうが高い．

$\overline{)\text{3}}$　$2$回目の得点が$70$点以上であった生徒は，$25$人以上いる．

$\overline{)\text{4}}$　$2$回目の得点が$1$回目の得点より$10$点以上高い生徒は全員，$1$回目の得点が$55$点未満である．

$\overline{)\text{5}}$　$65$点以上の得点をとった生徒の人数は，$1$回目のテストより$2$回目のテストのほうが多い．

(3)　次の表３は，$1$回目のテストの得点と$3$回目のテストの得点の平均点と標準偏差の値であり，図３は，この$2$つのテストの得点の散布図である．ただし，表３の数値は正確な値であり，四捨五入されていないものとする．また，図３の散布図の点は重なっていることもある．

　ここで，$2$つのテストの得点をそれぞれ，次の計算式により新しい得点に換算した．

$\text{新しい得点}=50+10\times {\displaystyle \frac{\text{得点の偏差}}{\text{標準偏差}}}\cdots$(＊)

　次の$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　$1$回目の得点を式(＊)により換算した新しい得点と$3$回目の得点を式(＊)により換算した新しい得点の散布図は$\boxed{\text{タ}}$である．

【３】

〔１〕　$\stackrel{\text{つぼ}}{\text{壺}}$の中に$1$から$4$までの数字が一つずつ書かれた$4$枚のカードが入っている．この壺からカードを$1$枚取り出し，その数字を見てもとの壺に戻す試行を行う．

(1)　この試行を$2$回行うとき，$2$回続けて数字$1$が取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$であり，$2$回続けて奇数の数字が取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(2)　この試行を$4$回続けて行うとき，数字$1$が少なくとも$2$回取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{クケコ}}}}$である．

(3)　この試行を繰り返すとき，$1$回目から$4$回目までに取り出された数字に，$1$から$4$までのすべての数字が現れる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．また，$4$回繰り返してもどれかの数字が現れないという条件のもとで，さらに，もう$1$度試行を行うと$1$から$4$までのすべての数字が現れる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

〔２〕　壺を$3$個用意し，そのうち$2$個の壺には，それぞれ，$1$から$4$までの数字が一つずつ書かれた$4$枚のカードが入っている．残りの$1$個の壺には，数字$1$の書かれたカードが$2$枚，数字$2\text{，}$$3$の書かれたカードがそれぞれ$1$枚入っている．はじめの$2$個の壺を$\mathrm{A}$型の壺，残り$1$個の壺を$\mathrm{B}$型の壺と呼ぶ．ただし，これらの壺は外から見て区別できない．

　これら$3$個の壺から$1$個をでたらめに選び，更にそこからカードを$1$枚取り出しその数字を記録してもとの壺に戻す，という試行を行う．

　この試行を$2$回反復したところ，取り出された数字が$2$回とも$1$であった．このとき$1$回目に選んだ壺が$\mathrm{B}$型であった条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

【４】

(1)　不定方程式

$21x+13=16y+12=96z+28$

の整数解$x\text{，}y\text{，}z$を求めるためには，$2$つの不定方程式

$21x+13=16y+12\cdots \text{①}$

$16y+12=96z+28\cdots \text{②}$

の共通の整数解を求めればよい．まず，$\text{①}$の整数解$x\text{，}y$のうち，$\left|x\right|$が最小になるのは$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$y=\boxed{\text{イ}}$であり，$\text{①}$のすべての解は$s$を整数として

$x=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{ウエ}}s\text{，}$$y=\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{オカ}}s$

と表される．次にこれらのうち，$\text{②}$を満たすものを求める．

　$\text{②}$に$y=\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{オカ}}s$を代入すると

$\boxed{\text{キ}}z-\boxed{\text{ク}}s=1\cdots \text{③}$

となる．$\text{③}$の整数解$z\text{，}$$s$のうち，$\left|z\right|$が最小になるのは$z=\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$$s=\boxed{\text{サシ}}$であり，$\text{③}$のすべての解は$t$を整数として

$z=\boxed{\text{ケコ}}+\boxed{\text{ス}}t\text{，}$$s=\boxed{\text{サシ}}+\boxed{\text{セ}}t$

と表される．よって$\text{①}\text{，}\text{②}$の共通解は

$x=\boxed{\text{ソタチ}}+\boxed{\text{ツテ}}t$

$y=\boxed{\text{トナニ}}+\boxed{\text{ヌネ}}t$

$z=\boxed{\text{ケコ}}+\boxed{\text{ス}}t$

である．

(2)　自然数$n$は，$21$で割ると$13$余り，$16$で割ると$12$余り，$96$で割ると$28$余るとする．このとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれの商とすると

$n=21x+13=16y+12=96z+28$

を満たす．このような$n$のうち，最小のものは$\boxed{\text{ノハヒ}}$である．

【５】　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3$とする．

　直線$\mathrm{AC}$上に，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABD}$を満たすようにとると，${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{BCD}$において，$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{BCD}$で$\angle \mathrm{D}$は共通であるから，${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}}$に着目すると，$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

　$▵\mathrm{BCD}$の外接円を$O$とし，点$\mathrm{B}$における円$O$の接線と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，点$\mathrm{E}$は辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{A}$の側の延長上にある．このとき

$\angle \mathrm{DBE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\angle \mathrm{ABE}$

であるから，${\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BE}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

　また，線分$\mathrm{BE}$は線分$\boxed{\text{シ}}$と同じ長さである．$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{AB}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{AD}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{AE}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{BC}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\mathrm{CD}$

したがって，$\mathrm{DE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{EM}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とすると

${\displaystyle \frac{\mathrm{FM}}{\mathrm{EF}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$

である．