Mathematics
Examination
Test
Archives
(1) 関数の増減を調べよう.の導関数は
であり,はで極大値,で極小値をとる.よって,の範囲におけるの最小値はである.
また,方程式の異なる実数解の個数は個である.
(2) 曲線上の点における接線をとすると,の方程式はである.また,放物線をとし,は点でと接しているとする.このとき,はを用いて
と表される.
(3) (2)の放物線は,の範囲では,軸とただ点で交わり,であるとする.このとき,とおけば
である.は負にならないので,の値の範囲はであり,である.ただし,とについては,当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.同じものを選んでもよい.
放物線のの部分と,軸および軸で囲まれた図形の面積をとする.また,のの部分と,軸および直線で囲まれた図形の面積をとする.このとき,の値によらず,が成り立つ.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
したがって,となるの値を求めると,である.
の表す領域をとする.
(1) 直線と軸,軸との交点をそれぞれとすると,の座標はの座標はである.また,直線との交点をとすると,の座標は
である.
(2) とおく.点が領域内を動くとき,の最小値を求めよう.
は原点と点の距離の乗に等しい.したがって,が最小になる点は,線分上にある.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.ただし,は(1)で定めた点とする.
線分上の点は,座標をとおけばと表すことができる.ただし,の値の範囲はである.をを用いて表すと
であるから,は点で最小値をとる.
(3) 次に,点が領域内を動くとき,が(1)で定めた点で最大値をとるようなの値の範囲を求めよう.
が点で最大値をとるのは,でのの値がとなるときである.(1)から,において
であるから,である.
(1) 三つのベクトルについて
である.に当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.
(2) により,三角形は正三角形である.以下,点が正四面体の四つの頂点になるとする.このときのの値を求めよう.ただし,とする.
ベクトルの大きさは,いずれもであり,どの二つのベクトルのなす角もである.よって,となる.このこととおよびにより,となる.
(3) のときを考える.線分の中点を線分をに内分する点を線分をに内分する点をとする.三角形の面積が最小になるときのの値を求めよう.
であり,とのなす角をとすると,なので
である.よって,はのとき最小になる.
【5】 とする.袋の中に白球が赤球がの割合で,全部で個入っているものとする.
以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.
(1) とする.この袋の中から個の球を取り出し袋の中へ戻すという試行を回繰り返すとき,白球の出る回数を表す確率変数をとする.の平均(期待値)はの分散はである.
さらに
とするとき
が成り立つ.このことを利用して,の平均はの分散はであることがわかる.
(2) とする.この袋の中から同時に個の球を取り出すとsき,白球の個数を表す確率変数をとする.このとき
である.同様にのとり得る他の値に対する確率を求めてから,の平均を計算するとであることがわかる.
(3) 以下では,の値がわからないとする.
この袋の中から個の球を取り出し袋の中へ戻すという試行を回繰り返す(以下,これを回の復元抽出という).回の復元抽出を行ったとき,白球の出る回数を確率変数で表し,とおく.が十分大きいとき,確率変数は近似的に平均分散の正規分布に従う.のとる値をとし,とおくと,が近似的に従う正規分布の分散をで置き換えることにより,に対する信頼度(信頼係数)の信頼区間を求めることができる.このとき,を信頼区間の幅とよぶ.以下,信頼度を固定して考え,は十分に大きいとする.
回の復元抽出を行って信頼区間を作るとき,信頼区間の幅が最大となるの値はが得られたときである.このときの信頼区間の幅をとする.また,回の復元抽出を行って,が得られたときの信頼区間の幅をとする.このとき,である.