2017 大学入試センター試験 追試験 数学II・IIBMathJax

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2017 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  0α π 2 0 β π2 および関係式

2cos 2 (β -α) =3sin (β -α)

を満たす α β に対して, y=4 sin2 β-4 cos2 α とおく.

(1)  t=sin (β- α) とおくと, から t = であることがわかる. 0α π2 0β π2 であるから, β-α = π である.

(2) (1)により β =α+ π であるから,加法定理を用いて, y α で表すと

y= - cos2 α + sinα cosα

となる.このことから, y= となるのは, α= π β = π のときである.

(3)  2 倍角の公式を用いると,

y= sin2 α- cos 2α

となる.さらに,三角関数の合成を用いると

y= sin(2 α- π )

と変形できる.このことから, y=- 3 となるのは, α= π ソタ β =π のときである.

2017 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  p q x y は実数とし,関係式

p=log 3{ 3x- ( 1 3) x} q= log3 {3y -( 13 ) y}

を満たすとする.

(1) 真数の条件により, x> y> である.ただし,対数 loga b に対し, a を底といい, b を真数という.

 また, x<y であるとき

3x 3 y ( 13 )x ( 13 )y p q

が成り立つ. に当てはまるものを,次の 0 2 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

(2)  x=log 34 のとき, p=log 3 - log 32 + である.また, p=log 34 のとき, x=log 3( + ) である.

(3) 関係式 y =2x -1 q= 2p- 1 が成り立つとき, x= log3 である.

2017 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )=x 3-5 x2+ 3x- 4 について考える.

(1) 関数 f (x ) の増減を調べよう. f( x) の導関数は

f (x) = x2- イウ x+

であり, f( x) x = で極大値, x= で極小値をとる.よって, x0 の範囲における f (x ) の最小値は クケコ である.

 また,方程式 f (x )=0 の異なる実数解の個数は 個である.

(2) 曲線 y =f( x) 上の点 ( 0,f (0 )) における接線を l とすると, l の方程式は y = x- である.また,放物線 y =x2+ px+ q C とし, C は点 ( a, a- ) l と接しているとする.このとき, p q a を用いて

p= セソ a+ q=a -

と表される.

(3) (2)の放物線 C は, 0x 1 の範囲では, x 軸とただ 1 ( β,0 ) で交わり, 0<β <1 であるとする.このとき, g( x)= x2+ px+ q とおけば

g( 0) g( 1)= a( a+ ) (a - ) 2<0

である. (a - ) 2 は負にならないので, a の値の範囲は ナニ <a< であり, g( 0) 0 g( 1) 0 である.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 2 のうちから一つずつ選べ.同じものを選んでもよい.

 放物線 C 0 xβ の部分と, x 軸および y 軸で囲まれた図形の面積を S とする.また, C β x1 の部分と, x 軸および直線 x =1 で囲まれた図形の面積を T とする.このとき, a の値によらず, 01g (x )d x= が成り立つ. に当てはまるものを,次の 0 7 のうちから一つ選べ.

0   S+T 1   S +T2 2   2S +t 3   2T +S
4   S-T 5   T-S 6   2S -T 7   2T -S

 したがって, S=T となる a の値を求めると, a= - フヘ である.

2017 大学入試センター試験 追試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  m m >- 23 を満たす実数とし,座標平面上で,連立不等式

{ 2x +3y 6 2x +y6 mx -y- 2

の表す領域を D とする.

(1) 直線 2 x+3 y=6 x 軸, y 軸との交点をそれぞれ A B とすると, A の座標は ( ,0 ) B の座標は ( 0, ) である.また, 2 直線 2 x+y =6 m x-y =-2 の交点を C とすると, C の座標は

( m+ , m+ m+ )

である.

(2)  k=x 2+y 2 とおく.点 ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, k の最小値を求めよう.

  k は原点 O ( 0,0 ) と点 ( x,y ) の距離の 2 乗に等しい.したがって, k が最小になる点は,線分 上にある. に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.ただし, A B C は(1)で定めた点とする.

 線分 上の点は, x 座標を 3 t とおけば ( 3t , クケ t+ ) と表すことができる.ただし, t の値の範囲は t である. k t を用いて表すと

k= スセ t2- t+

であるから, k は点 ( チツ スセ , テト スセ ) で最小値 ナニ スセ をとる.

(3) 次に,点 ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, k=x 2+y 2 が(1)で定めた点 C で最大値をとるような m の値の範囲を求めよう.

  k が点 C で最大値をとるのは, C での k の値が k となるときである.(1)から, C において

k= 4 ( m2+ ノハ m+ ) (m + ) 2

であるから, m である.

2017 大学入試センター試験 追試

数学II

配点7点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

(1)  4 次方程式 x4+8 x3 +20 x2+ 16x- 12=0 の解を求めよう.

  t=x 2+4 x とおくと,この方程式は

t2 + t-12= 0

となる.左辺を因数分解することにより,最初の 4 次方程式は

(x 2+4 x+ ) (x2 +4 x- )= 0

と表せる.よって,その解は方程式 x 2+4 x+ =0 の二つの虚数解 エオ ± i と,方程式 x2+4 x- =0 の二つの実数解 エオ ± である.

2017 大学入試センター試験 追試

数学II

配点13点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

(2) 虚数 α =-1+ 5i に対して, α3 α4 を整数 p q を用いて p α+q の形に表すことを考えよう.

  α および α と共役な複素数 β =-1- 5 i を解とする 2 次方程式の一つは

x2+ x+ = 0

である.よって, α2 =- α - から

α3 =α 2α =- α 2- α = コサ α+ シス α4 =α3 α= コサ α2+ シス α = セソ α+ タチ

である.

  β についても同様にして, β3 β4 を整数 p q を用いて p β+q の形に表すと, α4 +β4 = ツテ であることがわかる.

 また, α2 =- α - から, 1α 1 α2

1 α= トナ α-

1 α2= ハヒ α - ヘホ

となり,有理数 p q を用いて p α+q の形に表すことができる.

2017 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 次の(Ⅰ),(Ⅱ)で定められる数列 { an } を考える.

(Ⅰ)  a1= 1 a 2=4

(Ⅱ)  n=1 2 3 に対して

(n +1) an +2- (3 n+2) an +1+ 2n an = 4n+ 2

である.

(1)  a3 = アイ である.

(2)  {a n} の一般項,および初項から第 n 項までの和 S n を求めよう.

  の左辺は

(n+ 1) an+ 2- (3 n+2) an +1+ 2n an

=(n +1) (a n+2 - an+ 1) -n( an+1 - an )

となる.よって

(n+ 1) (a n+2 - an+1 )- n( an+ 1- an) =4n +2

である.したがって, bn= n( an+ 1- an ) とおくと, {b n} の階差数列は初項 公差 の等差数列であり, {b n} の一般項は bn= n である.ゆえに

an+ 1- an= 1n n

を得る.

  cn= an+ 1- an とおくと, から, cn+ 1- cn= である. cn+ 1+ = ( cn+ ) により,数列 { cn+ } は初項 公比 の等比数列である.

 したがって, {a n} の一般項は

an= - n-

である.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

 また, {a n} の初項から第 n 項までの和 S n

Sn = -n 2- n-

である.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.



2017 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 座標空間において 4 A ( 2,0, 0) B ( 1,1, 0) C ( 1,0, 1) D ( x,y, z) を考える.

(1) 三つのベクトル DA DB DC について

DA DB - DB DC =

DB DC - DC DA =

である. に当てはまるものを,次の 0 8 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

(2)  AB=BC =CA= により,三角形 ABC は正三角形である.以下, 4 A B C D が正四面体の四つの頂点になるとする.このときの x y z の値を求めよう.ただし, x>1 とする.

 ベクトル DA DB DC の大きさは,いずれも であり,どの二つのベクトルのなす角も オカ ° である.よって, DA DB = DB DC =DC DA = となる.このことと および | DA |= |DB | =|DC | = により, (x, y,z) =( , , ) となる.

(3)  (x, y,z) =( , , ) のときを考える.線分 AB の中点を P 線分 DA 1 :2 に内分する点を Q 線分 DC t :(1 -t) 0<t< 1 に内分する点を R とする.三角形 PQR の面積 S が最小になるときの t の値を求めよう.

| PQ |2 = サシ スセ |PR | 2= t2- t+

であり, PQ PR のなす角を θ とすると, S= 12 | PQ | |PR | sin θ なので

4S 2= | PQ |2 | PR |2 sin2 θ = | PQ |2 | PR |2 -| PQ |2 | PR |2 cos2 θ = t2- t+ ニヌ

である.よって, S t = ノハ のとき最小になる.

2017 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】  0<p <1 とする.袋の中に白球が p 赤球が 1 -p の割合で,全部で m 個入っているものとする.

 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.

(1)  p= 35 とする.この袋の中から 1 個の球を取り出し袋の中へ戻すという試行を 4 回繰り返すとき,白球の出る回数を表す確率変数を W とする. W の平均(期待値)は アイ W の分散は エオ カキ である.

 さらに

X=( 白球の出る回数) -( 赤球の出る回数)

とするとき

X= W-

が成り立つ.このことを利用して, X の平均は X の分散は シス セソ であることがわかる.

(2)  m=10 p= 35 とする.この袋の中から同時に 4 個の球を取り出すとsき,白球の個数を表す確率変数を Y とする.このとき

P( Y=0) = チツテ P (Y= 1)= ナニ

である.同様に Y のとり得る他の値に対する確率を求めてから, Y の平均を計算すると ヌネ であることがわかる.

(3) 以下では, p の値がわからないとする.

 この袋の中から 1 個の球を取り出し袋の中へ戻すという試行を n 回繰り返す(以下,これを n 回の復元抽出という). n 回の復元抽出を行ったとき,白球の出る回数を確率変数 W で表し, R= Wn とおく. n が十分大きいとき,確率変数 R は近似的に平均 p 分散 p( 1-p) n の正規分布に従う. W のとる値を w とし, r= wn とおくと, R が近似的に従う正規分布の分散 p( 1-p) n r( 1-r) n で置き換えることにより, p に対する信頼度(信頼係数) 95 % の信頼区間 A p B を求めることができる.このとき, B-A を信頼区間の幅とよぶ.以下,信頼度 95 % を固定して考え, n は十分に大きいとする.

  n 回の復元抽出を行って信頼区間を作るとき,信頼区間の幅が最大となる r の値は r =0. が得られたときである.このときの信頼区間の幅を L 1 とする.また, n 回の復元抽出を行って, r=0.8 が得られたときの信頼区間の幅を L 2 とする.このとき, L2L 1= . である.

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