2017　大学入学共通テスト記述式モデル問題例MathJax

【１】[1]　右図のように座標平面上に$4$点$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-2,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-2)$を頂点とする正方形$\mathrm{ABCD}$がある．

　点$\mathrm{E}$は点$\mathrm{A}$から出発して$x$軸上を移動し，点$\mathrm{F}$は点$\mathrm{B}$から出発して$y$軸上を移動する．

　ただし，$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$はつねに$\mathrm{BF}=2\mathrm{AE}$の関係を満たしながら移動するものとする．

　また，$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の原点$\mathrm{O}$に関する対称な点をそれぞれ${\mathrm{E}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$とし，$4$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{E}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$を頂点とする四角形の面積を$S$とする．

　以下の各問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{E}$は点$\mathrm{A}$から出発して$x$軸の負の向きに原点$\mathrm{O}$まで移動し，点$\mathrm{F}$は点$\mathrm{B}$を出発し，$y$軸の正の向きに移動する場合を考える．

　ただし，点$\mathrm{E}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合は考えないものとする．

(ⅰ)　点$\mathrm{E}$が$({\displaystyle \frac{5}{3}},0)$にあるとき，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(ⅱ)　$S$のとり得る値の範囲を不等式を用いて表せ．

　解答は，解答欄$\boxed{\text{(あ)}}$に記述せよ．

　以下の問いでは，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を$T$とする．

(2)　点$\mathrm{E}$は点$\mathrm{A}$から出発して$x$軸の負の向きに点$\mathrm{C}$まで移動し，点$\mathrm{F}$は点$\mathrm{B}$から出発して$y$軸の正の向きに移動する場合を考える．

　ただし，点$\mathrm{E}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合は考えないものとする．

　$S=T$となるのは，点$\mathrm{E}$が点$\mathrm{A}$と一致するとき，および

$\mathrm{AE}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

のときである．

(3)　次に，$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の移動する向きをそれぞれ逆にする．

　点$\mathrm{E}$は点$\mathrm{A}$から出発して$x$軸の正の向きに移動し続け，点$\mathrm{F}$は点$\mathrm{B}$から出発して$y$軸の負の向きに移動し続ける場合を考える．

　ただし，点$\mathrm{F}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合は考えないものとする．

　このとき，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，正しいものをすべて選べ．$\boxed{\text{ケ}}$

$\overline{)\text{0}}$　点$\mathrm{E}$が点$\mathrm{A}$と一致する場合を除くと，$S=T$となるような点$\mathrm{E}$の$x$座標は二つある．

$\overline{)\text{1}}$　$S$が$T$の$2$倍になるような点$\mathrm{E}$の$x$座標は一つだけある．

$\overline{)\text{2}}$　$S$の最大値は$T$の$9$倍に等しい．

$\overline{)\text{3}}$　点$\mathrm{E}$が点$\mathrm{A}$と一致する場合以外にも，四角形$\mathrm{EF}{\mathrm{E}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$は正方形になることがある．

【１】[2]　$t$および$x$を正の実数とする．

　$\mathrm{AB}=8\text{，}$$\mathrm{AC}=t\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=60\mathrm{°}$であるような$\mathrm{▵ABC}$が$2$通り存在する場合の$t$のとり得る値の範囲について，次の【方針１】または【方針２】で考えることができる．

　次の各問いに答えよ．

(1)　【方針１】の$\boxed{\text{コ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ス}}$に当てはまる数を答えよ．

(2)　【方針１】の$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　異なる二つの解

$\overline{)\text{1}}$　異なる二つの正の解

$\overline{)\text{2}}$　異なる二つの負の解

$\overline{)\text{3}}$　正の解と負の解

$\overline{)\text{4}}$　重解

(3)　【方針２】の$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　点$\mathrm{A}$を中心とし，半径$t$の円

$\overline{)\text{1}}$　点$\mathrm{B}$を中心とし，半径$t$の円

$\overline{)\text{2}}$　点$\mathrm{A}$を中心とし，半径${\displaystyle \frac{t}{2}}$の円

$\overline{)\text{3}}$　点$\mathrm{B}$を中心とし，半径${\displaystyle \frac{t}{2}}$の円

$\overline{)\text{4}}$　点$\mathrm{A}$を中心とし，半径${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}t$の円

$\overline{)\text{5}}$　点$\mathrm{B}$を中心とし，半径${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}t$の円

(4)　$a$および$b$を正の実数とし，$\theta$を鋭角とする．

　$\mathrm{AB}=a\text{，}$$\mathrm{AC}=b\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\theta$である$\mathrm{▵ABC}$について，$a$と$\theta$を一定の値にしたとき，$b$の値に応じて$\mathrm{▵ABC}$が何通り存在するかは異なる．

　そのような$\mathrm{▵ABC}$が何通り存在するかを，$b$のとり得る値の範囲によって場合に分けて答えよ．

　ただし，$\mathrm{▵ABC}$ができない場合は「$0$通り」と答えよ．

　解答は，解答欄$\boxed{\text{(い)}}$に記述せよ．

【２】　花子さんと太郎さんは，次の記事を読みながら会話をしている．

　見込む角とは，右図のように，銅像の上端$\mathrm{A}$と下端$\mathrm{B}$と見る人の目の位置$\mathrm{P}$によってできる$\mathrm{\angle APB}$のことである．

　二人は，銅像を見込む角について，次の二つのことを仮定して考えることにした．

・地面は水平であり，直線$\mathrm{AB}$は地面に対して垂直である．

・どの位置からも常に銅像全体は見える．

　次の各問いに答えよ．なお，必要に応じて三角比の表を用いてもよい．

(1)　銅像の真正面に立ち，銅像の真下から$12\mathrm{m}$離れた位置から，高さ$1.5\mathrm{m}$の台座に乗せた高さ$4\mathrm{m}$の銅像を見る．このとき，目の高さが$1.5\mathrm{m}$の花子さんの銅像を見込む角として最も近いものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ア}}$

• $\overline{)\text{0}}$　$4\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{1}}$　$6\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{2}}$　$8\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{3}}$　$10\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{4}}$　$12\mathrm{°}$

• $\overline{)\text{5}}$　$14\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{6}}$　$16\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{7}}$　$18\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{8}}$　$20\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{9}}$　$22\mathrm{°}$

(2)　銅像に近づいたり離れたりすると，見込む角の大きさは変化する．見込む角が最大になるときの，見る人の足元の位置を「ベストスポット」とよぶこととする．この「ベストスポット」について，太郎さんは次のように考えた．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle APB}$が鋭角であることを確かめる方法を，$\mathrm{▵APB}$の$3$辺の長さ$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AP}\text{，}$$\mathrm{BP}$についての式を用いて説明せよ．解答は，解答欄$\boxed{\text{(あ)}}$に記述せよ．

(ⅱ)　【太郎さんの考え】が正しいことは，$\sin \mathrm{\angle APB}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$R$を用いたある関係式と，「$\mathrm{\angle APB}$が鋭角のとき，$\mathrm{\angle APB}$が大きくなるほど$\sin \mathrm{\angle APB}$の値は大きくなる」ことからわかる．その関係式を答えよ．解答は，解答欄$\boxed{\text{(い)}}$に記述せよ．

(ⅲ)　二人は【太郎さんの考え】について先生に相談したところ，$R$が最小になるのは，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$を含む平面上において，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る円と点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線が接するときであることを教えてもらった．

　この考え方に基づくと，目の高さが$1.5\mathrm{m}$の花子さんが，高さ$6.5\mathrm{m}$の台座の上に乗せた高さ$4\mathrm{m}$の銅像を見る「ベストスポット」となるのは，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る円の半径$R$が$\boxed{\text{イ}}\mathrm{m}$になるときである．

$\text{①}$　$\boxed{\text{イ}}$に当てはまる数を答えよ．

$\text{②}$　このときの見込む角として最も近いものを次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ウ}}$

• $\overline{)\text{0}}$　$11\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{1}}$　$13\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{2}}$　$15\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{3}}$　$17\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{4}}$　$19\mathrm{°}$

• $\overline{)\text{5}}$　$21\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{6}}$　$23\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{7}}$　$25\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{8}}$　$27\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{9}}$　$29\mathrm{°}$

$\text{③}$　このときの銅像の真下と「ベストスポット」の距離は，およそ$\boxed{\text{エ}}\mathrm{m}$である．

　$\boxed{\text{エ}}$に当てはまる最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$307\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{1}}$　$4.7\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{2}}$　$5.7\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{3}}$　$6.7\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{4}}$　$7.7\mathrm{°}$

• $\overline{)\text{5}}$　$8.7\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{6}}$　$9.7\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{7}}$　$10.7\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{8}}$　$11.7\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{9}}$　$12.7\mathrm{°}$