2017　大学入学共通テスト試行調査数学IAMathJax

【１】［１］　数学の授業で，$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$についてコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて考察している．

　このソフトでは，図１の画面上の$\boxed{\text{A}}\text{，}$$\boxed{\text{B}}\text{，}$$\boxed{\text{C}}$にそれぞれ係数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を入力すると，その値に応じたグラフが表示される．さらに，$\boxed{\text{A}}\text{，}$$\boxed{\text{B}}\text{，}$$\boxed{\text{C}}$それぞれの下にある・を左に動かすと係数の値が減少し，右に動かすと係数の値が増加するようになっており，値の変化に応じて$2$次関数のグラフが座標平面上を動く仕組みになっている．

　また，座標平面は$x$軸，$y$軸によって四つの部分に分けられる．これらの各部分を「象限」といい，右の図のように，それぞれを「第$1$象限」「第$2$象限」「第$3$象限」「第$4$象限」という．ただし，座標軸上の点は，どの象限にも属さないものとする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　はじめに，図１の画面のように，頂点が第$3$象限にあるグラフが表示された．このときの$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値の組合せとして最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ア}}$

(2)　次に，$a\text{，}$$b$の値を(1)の値のまま変えずに，$c$の値だけを変化させた．このときの頂点の移動について正しく述べたものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{イ}}$

$\overline{)\text{0}}$　最初の位置から移動しない．	$\overline{)\text{1}}$　$x$軸方向に移動する．
$\overline{)\text{2}}$　$y$軸方向に移動する．	$\overline{)\text{3}}$　原点を中心として回転移動する．

(3)　また，$b\text{，}$$c$の値を(1)の値のまま変えずに，$a$の値だけをグラフが下に凸の状態を維持するように変化させた．このとき，頂点は，$a={\displaystyle \frac{b^2}{4c}}$のときは$\boxed{\text{ウ}}$にあり，それ以外のときは$\boxed{\text{エ}}$を移動した．$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

(4)　最初の$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を変更して，下の図２のようなグラフを表示させた．このとき，$a\text{，}$$c$の値をこのまま変えずに，$b$の値だけを変化させても，頂点は第$1$象限および第$2$象限には移動しなかった．

　その理由を，頂点の$y$座標についての不等式を用いて説明せよ．解答は，解答欄$\boxed{\text{(あ)}}$に記述せよ．

【１】［２］　以下の問題では，$\mathrm{▵ABC}$に対して，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表すものとする．

　ある日，太郎さんと花子さんのクラスでは，数学の授業で先生から次のような宿題が出された．

　放課後，太郎さんと花子さんは出された宿題について会話をした．二人の会話を読んで，下の問いに答えよ．

(1)　$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

(2)　$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$に当てはまる最も適当なものを，次の各解答群のうちから一つずつ選べ．

$\boxed{\text{キ}}$の解答群：

$\boxed{\text{ク}}$の解答群：

• $\overline{)\text{0}}$　$-3.2709$
• $\overline{)\text{1}}$　$-0.9563$
• $\overline{)\text{2}}$　$0.9563$
• $\overline{)\text{3}}$　$3.2709$

(3)　太郎さんが言った下線部(a)，(b)について，その正誤の組合せとして正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ケ}}$

$\overline{)\text{0}}$　下線部(a)，(b)ともに正しい．

$\overline{)\text{1}}$　下線部(a)は正しいが，(b)は誤りである．

$\overline{)\text{2}}$　下線部(a)は誤りであるが，(b)は正しい．

$\overline{)\text{3}}$　下線部(a)，(b)ともに誤りである．

(4)　$\boxed{\text{コ}}$に当てはまる数を答えよ．また，$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$R\sin B$
• $\overline{)\text{1}}$　$2R\sin B$
• $\overline{)\text{2}}$　$R\cos B$
• $\overline{)\text{3}}$　$2R\cos B$
• $\overline{)\text{4}}$　$R\sin C$
• $\overline{)\text{5}}$　$2R\sin C$
• $\overline{)\text{6}}$　$R\cos C$
• $\overline{)\text{7}}$　$2R\cos C$

(5)　$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

(6)　下線部(c)について，$B$が鈍角のときには下線部$\text{①}\text{〜}$$\text{③}$の式のうち修正が必要なものがある．修正が必要な番号についてのみ，修正した式をそれぞれ答えよ．解答は，解答欄$\boxed{\text{(い)}}$に記述せよ．

(7)　$\mathrm{▵ABC}$について，次の条件$p\text{，}$$q$を考える．

$p\text{：}A=60\mathrm{°}$

$q\text{：}4{\cos }^{2}B+4{\sin }^{2}C-4\sqrt{3}\cos B\sin C=1$

　これまでの太郎さんと花子さん行った考察をもとに，正しいと判断できるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ソ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$p$は$q$であるための必要十分条件である．

$\overline{)\text{1}}$　$p$は$q$であるための必要条件であるが，十分条件でない．

$\overline{)\text{2}}$　$p$は$q$であるための十分条件であるが，必要条件でない．

$\overline{)\text{3}}$　$p$は$q$であるための必要条件でも十分条件でもない．

【２】［１］　○○高校の生徒会では，文化祭で$T$シャツを販売し，その利益をボランティア団体に寄付する企画を考えている．生徒会執行部では，できるだけ利益が多くなる価格を決定するために，次のような手順で考えることにした．

　右の表１は，アンケート調査の結果である．生徒会執行部では，例えば，価格が$1000$円のときには$1500$円や$2000$円と回答した生徒も$1$枚購入すると考えて，それぞれの価格に対し，その価格以上の金額を回答した生徒の人数を「累積人数」として表示した．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　売上額は

$\text{(売上額)}=\text{(}\mathrm{T}\text{シャツ}1\text{枚の価格)}\times \text{(販売数)}$

と表せるので，生徒会執行部では，アンケートに回答した$200$人の生徒について，調査結果をもとに，表１にない価格の場合についても販売数を予測することにした．そのために，$\mathrm{T}$シャツ$1$枚の価格を$x$円，このときの販売数を$y$枚とし，$x$と$y$の関係を調べることにした．

　表１の$\mathrm{T}$シャツ$1$枚の価格と$\boxed{\text{ア}}$の値の組を$(x,y)$として座標平面上に表すと，その$4$点が直線に沿って分布しているように見えたので，この直線を，$\mathrm{T}$シャツ$1$枚の価格$x$と販売数$y$の関係を表すグラフとみなすことにした．

　このとき，$y$は$x$の$\boxed{\text{イ}}$であるので，売上数を$S(x)$とおくと，$S(x)$は$x$の$\boxed{\text{ウ}}$である．このように考えると，表１にない価格の場合についても売上額を予測することができる．

　$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$に入るものとして最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　人数
• $\overline{)\text{1}}$　累積人数
• $\overline{)\text{2}}$　製作費用
• $\overline{)\text{3}}$　比例
• $\overline{)\text{4}}$　反比例
• $\overline{)\text{5}}$　$1$次関数
• $\overline{)\text{6}}$　$2$次関数

　生徒会執行部が(1)で考えた直線は，表１を用いて座標平面上にとった$4$点のうち$x$の値が最小の点と最大の点を通る直線である．この直線を用いて，次の問いに答えよ．

(2)　売上げ額$S(x)$が最大になる$x$の値を求めよ．$\boxed{\text{エオカキ}}$

(3)　$\mathrm{T}$シャツ$1$枚当たりの「製作費用」が$400$円の業者に$120$枚を依頼することにしたとき，利益が最大になる$\mathrm{T}$シャツ$1$枚の価格を求めよ．

$\boxed{\text{クケコサ}}$円

【２】［２］　地方の経済活性化のため，太郎さんと花子さんは観光客の消費に着目し，その拡大に向けて基礎的な情報を整理することにした．以下は，都道府県別の統計データを集め，分析しているときの二人の会話である．会話を読んで下の問いに答えよ．ただし，東京都，大阪府，福井県の$3$都府県のデータは含まれていない．また，以後の問題文では「道府県」を単に「県」として表記する．

(1)　図１の観光客数と消費総額の間の相関係数に最も近い値を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{シ}}$

• $\overline{)\text{0}}$　$-0.85$
• $\overline{)\text{1}}$　$-0.52$
• $\overline{)\text{2}}$　$0.02$
• $\overline{)\text{3}}$　$0.34$
• $\overline{)\text{4}}$　$0.83$

(2)　$44$県それぞれの消費額単価を計算しなくても，図１の散布図から消費額単価が最も高い県を表す点を特定することができる．その方法を，「直線」という単語を用いて説明せよ．解答は，解答欄$\boxed{\text{(う)}}$に記述せよ．

(3)　消費額単価が最も高い県を表す点を，図１の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ス}}$

(4)　図２，図３から読み取れる事柄として正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから二つ選べ．$\boxed{\text{セ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$44$県の半分の県では，県内からの観光客数よりも県外からの観光客数の方が多い．

$\overline{)\text{1}}$　$44$県の半分の県では，県内からの観光客の消費総額よりも県外からの観光客の消費総額の方が高い．

$\overline{)\text{2}}$　$44$県の$4$分の$3$以上の県では，県外からの観光客の消費額単価の方が県内からの観光客の消費額単価より高い．

$\overline{)\text{3}}$　県外からの観光客の消費額単価の平均値は，北海道，鹿児島県，沖縄県を除いた$41$県の平均値の方が$44$県の平均値より小さい．

$\overline{)\text{4}}$　北海道，鹿児島県，沖縄県を除いて考えると，県内からの観光客の消費額単価の分散よりも県外からの観光客の消費額単価の分散の方が小さい．

(5)　二人は県外からの観光客に焦点を絞って考えることにした．

　図４から読み取れることとして最も適切な記述を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ソ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$44$県の行祭事・イベント開催数の中央値は，その平均値よりも大きい．

$\overline{)\text{1}}$　行祭事・イベントを多く開催し過ぎると，県外からの観光客数は減ってしまう傾向がある．

$\overline{)\text{2}}$　県外からの観光客数を増やすには行祭事・イベントの開催数を増やせばよい．

$\overline{)\text{3}}$　行祭事・イベントの開催数が最も多い県では，行祭事・イベントの開催一回あたりの県外からの観光客数は$\mathrm{6,000}$千人を超えている．

$\overline{)\text{4}}$　県外からの観光客数が多い県ほど，行祭事・イベントを多く開催している傾向がある．

(本問題の図は，「共通基準による観光入込客統計」（観光庁）をもとにして作成している．）

【３】　高速道路には，渋滞状況が表示されていることがある．目的地に行く経路が複数ある場合は，渋滞中を示す表示を見て経路を決める運転手も少なくない．太郎さんと花子さんは渋滞中の表示と車の流れについて，仮定をおいて考えてみることにした．

　$\mathrm{A}$地点（入口）から$\mathrm{B}$地点（出口）に向かって北上する高速道路には，図１のように分岐点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}$と合流点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$がある．$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$は主要道路であり，$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}\text{，}$$\text{⑦}$は$\stackrel{\text{う}}{\text{迂}}$回道路である．ただし，矢印は車の進行方向を表し，図１の経路以外に$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に向かう経路はないとする．また，各分岐点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}$には，それぞれ$\text{①}$と$\text{④}\text{，}$$\text{②}$と$\text{⑦}\text{，}$$\text{⑤}$と$\text{⑥}$の渋滞状況が表示される．

　太郎さんと花子さんは，まず渋滞中の表示がないときに，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}$の各分岐点において運転手がどのような選択をしているか調査した．その結果が表１である．

　これに対して太郎さんは，運転手の選択について，次のような仮定をおいて確率を使って考えることにした．

　ここで，(ⅰ)の選択の割合を確率とみなすとは，例えば$\mathrm{A}$地点の分岐において$\text{④}$の道路を選択した場合${\displaystyle \frac{91}{1183}}={\displaystyle \frac{1}{13}}$を$\text{④}$の道路を選択する確率とみなすということである．

　太郎さんの仮定のもとで，次の問いに答えよ．

(1)　すべての道路に渋滞中の表示がない場合，$\mathrm{A}$地点の分岐において運転手が$\text{①}$の道路を選択する確率を求めよ．${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$

(2)　すべての道路に渋滞中の表示がない場合，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に向かう車が$\mathrm{D}$地点を通過する確率を求めよ．${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$

(3)　すべての道路に渋滞中の表示がない場合，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に向かう車で$\mathrm{D}$地点を通過した車が，$\mathrm{E}$地点を通過していた確率を求めよ．${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$

(4)　$\text{①}$の道路にのみ渋滞中の表示がある場合，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に向かう車が$\mathrm{D}$地点を通過する確率を求めよ．${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$

　各道路を通過する車の台数が$1000$台を超えると車の流れが急激に悪くなる．一方で各道路の通過台数が$1000$台を超えない限り，主要道路である$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$をより多くの車が通過することが社会の効率化に繋がる．したがって，各道路の通過台数が$1000$台を超えない範囲で，$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$をそれぞれ通過する台数の合計が最大になるようにしたい．

　このことを踏まえて，花子さんは，太郎さんの過程を参考にしながら，次のような仮定をおいて考えることにした．

　過去のデータから$5$月$13$日に$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に向かう車は$1560$台と想定している．そこで，花子さんの仮定のもとでこの台数を想定してシミュレーションを行った．このとき，次の問いに答えよ．

(5)　すべての道路に渋滞中の表示がない場合，$\text{①}$を通過する台数は$\boxed{\text{タチツテ}}$台となる．よって，$\text{①}$の通過台数を$1000$台以下にするには，$\text{①}$に渋滞中の表示を出す必要がある．

　$\text{①}$に渋滞中の表示を出した場合，$\text{①}$の通過台数は$\boxed{\text{トナニ}}$台となる．

(6)　各道路の通過台数が$1000$台を超えない範囲で，$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$をそれぞれ通過する台数の合計を最大にするには，渋滞中の表示を$\boxed{\text{ヌ}}$のようにすればよい．$\boxed{\text{ヌ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

【４】　花子さんと太郎さんは，正四面体$\mathrm{ABCD}$の各辺の中点を右の図のように$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{J}$としたときに成り立つ性質について，コンピュータソフトを使いながら，下のように話している．二人の会話を読んで，下の問いに答えよ．

(1)　太郎さんは四角形$\mathrm{FHJG}$の$4$辺の長さが等しいことを，次のように証明した．

(ⅰ)　$\boxed{\text{ア}}$に当てはまる最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　中線定理
• $\overline{)\text{1}}$　 方べきの定理
• $\overline{)\text{2}}$　三平方の定理
• $\overline{)\text{3}}$　中点連結定理
• $\overline{)\text{4}}$　円周角の定理

(ⅱ)　$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

(2) 花子さんは，太郎さんの考えをもとに，正四面体をいろいろな方向から見て，四角形$\mathrm{FHJG}$が正方形であることの証明について，下のような構想をもとに，実際に証明した．

(ⅰ)　$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　必要条件であるが十分条件でない

$\overline{)\text{1}}$　十分条件であるが必要条件でない

$\overline{)\text{2}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

(ⅱ)　$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものが，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$の中にある．当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，$\boxed{\text{エ}}$と$\boxed{\text{オ}}$の解答の順序は問わない．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{▵AGH}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{▵AIB}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{▵AJC}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{▵AHD}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\mathrm{▵AHC}$
• $\overline{)\text{5}}$　$\mathrm{▵AJD}$

(ⅲ)　$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　正三角形
• $\overline{)\text{1}}$　二等辺三角形
• $\overline{)\text{2}}$　直角三角形
• $\overline{)\text{3}}$　直角二等辺三角形

　四角形$\mathrm{FHJG}$が正方形であることを証明した太郎さんと花子さんは，さらに，正四面体$\mathrm{ABCD}$において成り立つ他の性質を見いだし，下のように話して いる．

(3)　下線部(a)から下線部(b)を導く過程で用いる性質として正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちからすべて選べ．$\boxed{\text{キ}}$

$\overline{)\text{0}}$　平面$\alpha$上にある直線$l$と平面$\alpha$上にない直線$m$が平行ならば，$\alpha ⫽m$である．

$\overline{)\text{1}}$　平面$\alpha$上にある直線$l\text{，}$$m$が点$\mathrm{P}$で交わっているとき，点$\mathrm{P}$を通り平面$\alpha$上にない直線$n$が直線$l\text{，}$$m$に垂直ならば，$\alpha \perp n$である．

$\overline{)\text{2}}$　平面$\alpha$と直線$l$が点$\mathrm{P}$で交わっているとき，$\alpha \perp l$ならば，平面$\alpha$上 の点$\mathrm{P}$を通るすべての直線$m$に対して，$l\perp m$である．

$\overline{)\text{3}}$　平面$\alpha$上にある直線$l\text{，}$$m$がともに平面$\alpha$上にない直線$n$に垂直ならば，$\alpha \perp n$である．

$\overline{)\text{4}}$　平面$\alpha$上に直線$l\text{，}$平面$\beta$上に直線$m$があるとき．$\alpha \perp \beta$な ら ば，$l\perp m$である．

(4)　下線部(c)について，太郎さんと花子さんは正四面体でない場合についても考えてみることにした．

　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{I}$とするとき，下線部(b)が常に成り立つ条件について，次のように考えた．

太郎さんが考えた条件：$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}$

花子さんが考えた条件：$\mathrm{BC}=\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$

　四面体$\mathrm{ABCD}$において，下線部(b)が成り立つ条件について正しく述べているものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ク}}$

$\overline{)\text{0}}$　太郎さんが考えた条件，花子さんが考えた条件のどちらにおいても常に成り立つ．

$\overline{)\text{1}}$　太郎さんが考えた条件では常に成り立つが，花子さんが考えた条件では必ずしも成り立つとは限らない．

$\overline{)\text{2}}$　太郎さんが考えた条件では必ずしも成り立つとは限らないが，花子さんが考えた条件では常に成り立つ．

$\overline{)\text{3}}$　太郎さんが考えた条件，花子さんが考えた条件のどちらにおいても必ずしも成り立つとは限らない．

【５】　$n$を$3$以上の整数とする．紙に正方形のマスが縦横とも$(n-1)$個ずつ並んだマス目を書く．その${(n-1)}^2$個のマスに，以下のルールに従って数字を一つず つ書き込んだものを「方盤」と呼ぶことにする．なお，横の並びを「行」，縦の並び を「列」という．

ルール：上から$k$行目，左から$l$列目のマスに，$k$と$l$の積を$n$で割った余りを記入する．

　$n=3\text{，}$$n=4$のとき，方盤はそれぞれ右の図 1，図 2 のようになる．

　例えば，図 2 において，上から$2$行目，左から$3$列目には，$2\times 3=6$を$4$で割った余りである$2$が書かれている，このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=8$のとき，右の図 3 の方盤の$\mathrm{A}$に当てはまる数を答えよ．$\boxed{\text{ア}}$

　また，図 3 の方盤の上から$5$行目に並ぶ数のうち，$1$が書かれているのは左から何列目であるかを答えよ．左から$\boxed{\text{イ}}$列目

(2)　$n=7$のとき．右の図４のように，方盤のいずれのマスにも$0$が現れない．

　このように，方盤のいずれのマスにも$0$が現れないための，$n$に関する必要十分条件を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ウ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$n$が奇数であること．

$\overline{)\text{1}}$　$n$が$4$で割って$3$余る整数であること．

$\overline{)\text{2}}$　$n$が$2$の倍数でも$5$の倍数でもない整数であること．

$\overline{)\text{3}}$　$n$が素数であること．

$\overline{)\text{4}}$　$n$が素数でないこと．

$\overline{)\text{5}}$　$n-1$と$n$が互いに素であること．

(3)　$n$の値がもっと大きい場合を考えよう．方盤においてどの数字がどのマスにあるかは，整数の性質を用いると簡単に求めることができる．

　$n=56$のとき，方盤の上から$27$行目に並ぶ数のうち，$1$は左から何列目にあるかを考えよう．

(ⅰ)　方盤の上から$27$行目，左から$l$列目の数が$1$であるとする（ただし，$1\leqq l\leqq 55$）．$l$を求めるためにはどのようにすれば良いか．正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$ のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{エ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$1$次不定方程式$27l-56m=1$の整数解のうち，$1\leqq l\leqq 55$を満たすものを求める．

$\overline{)\text{1}}$　$1$次不定方程式$27l-56m=-1$の整数解のうち，$1\leqq l\leqq 55$を満 たすものを求める．

$\overline{)\text{2}}$　$1$次不定方程式$56l-27m=1$の整数解のうち，$1\leqq l\leqq 55$を満た すものを求める．

$\overline{)\text{3}}$　$1$次不定方程式$56l-27m=-1$の整数解のうち，$1\leqq l\leqq 55$を満 たすものを求める．

(ⅱ)　(ⅰ)で選んだ方法により，方盤の上から$27$行目に並ぶ数のうち，$1$は左から何列目にあるかを求めよ．左から$\boxed{\text{オカ}}$列目

(4)　$n=56$のとき，方盤の各行にそれぞれ何個の$0$があるか考えよう．

(ⅰ)　方盤の上から$24$行目には$0$が何個あるか考える．

　左から$l$列目が$0$であるための必要十分条件は，$24l$が$56$の倍数であること，すなわち，$l$が$\boxed{\text{キ}}$の倍数であることである．したがって，上から$24$行目には$0$が$\boxed{\text{ク}}$個ある．

(ⅱ)　上から$1$行目から$55$行目までのうち，$0$の個数が最も多いのは上から何行目であるか答えよ，上から$\boxed{\text{ケコ}}$行目

(5)　$n=56$のときの方盤について，正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちからすべて選べ．$\boxed{\text{サ}}$

$\overline{)\text{0}}$　上から$5$行目には$0$がある．

$\overline{)\text{1}}$　上から$6$行目には$0$がある．

$\overline{)\text{2}}$　上から$9$行目には$1$がある．

$\overline{)\text{3}}$　上から$10$行目には$1$がある．

$\overline{)\text{4}}$　上から$15$行目には$7$がある．

$\overline{)\text{5}}$　上から$21$行目には$7$がある．