2017 滋賀大学 前期

Mathematics

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2017 滋賀大学 前期

経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【1】  a を整数とする. x に関する方程式

4x 3-( a+9) x-2 (a -2) =0

について,次の問いに答えよ.

(1) 実数 k が解であるとき, a k を用いて表せ.

(2) 少なくとも 1 つの解が自然数となるような a の値をすべて求めよ.

(3) 少なくとも 1 つの解が整数ではない正の有理数となるような a の値を求めよ.

2017 滋賀大学 前期

経済,教育(理系型),データサイエンス学部

データサイエンス学部は【1】

易□ 並□ 難□

【2】  y=| x2- 3x- 4|+ 3x+ 3 のグラフを C y=a (x -4) +15 のグラフを L とする.ただし, a は定数である.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  C の概形をかけ.

(2)  -1 x4 における C L の共有点の x 座標を a を用いて表せ.

(3)  C L の共有点の個数は,定数 a の値によってどのように変わるか.

2017 滋賀大学 前期

経済,教育(理系型),データサイエンス学部

データサイエンス学部は【2】

易□ 並□ 難□

【3】 座標空間において,次のように立方体 OABC DEFG の頂点をとる.

O (0 ,0,0 ) A (1 ,0,0 ) B (1 ,1,0 ) C (0 ,1,0 )

D (0 ,0,1 ) E (1 ,0,1 ) F (1 ,1,1 ) G (0 ,1,1 )

また,辺 OD 上に点 S ( 0,0, s) AE 上に点 T ( 1,0, t) CG 上に点 U ( 0,1, u) をとり, 3 S T U で定まる平面を α とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 平面 α と直線 BF の交点を P とする. P の座標を s t u を用いて表せ.

(2) 平面 α による立方体 OABC DEFG の切り口がひし形になるための s t u の条件を求めよ.ただし, s=t= u=0 のときは四角形 OABC が, s=t= u=1 のときは四角形 DEFG が切り口であるとする.

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経済,教育(理系型),データサイエンス学部

データサイエンス学部は【5】で,【5】と【6】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4】  a を定数とし, f( x)= ax3 -( 2a- 1) x2 - (a+ 4) x+2 a+3 とする.曲線 C y=f (x ) a の値に関わらず 3 P ( x1, y1 ) Q (x 2,y 2) R ( x3, y3 ) を通る.ただし, x1 <x2 <x3 である.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 点 P Q R の座標をそれぞれ求めよ.

(2)  f( x) が極値をもつような a の値の範囲を求めよ.

(3)  a=1 のとき,線分 PQ と曲線 C で囲まれた図形の面積を求めよ.

2017 滋賀大学 前期

データサイエンス学部

【3】と【4】から1題選択

易□ 並□ 難□

【3】  n 2 以上の整数としたとき, n 進法で表された 4 桁の数 a bcd (n ) のうち, a=d 0 かつ b =c であるものを, n 進法の 4 桁回文とよぶ.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  2 進法の 4 桁回文をすべて 10 進法で表せ.

(2)  3 進法の 4 桁回文をすべて 10 進法で表せ.

(3)  9 進法の 4 桁回文の個数を求めよ.

(4)  4 進法の 4 桁回文すべての最大公約数を求めよ.

(5)  n 進法の 4 桁回文はすべて n +1 で割り切れることを示せ.

2017-10521-0106

DYさんによる解答

2017 滋賀大学 前期

データサイエンス学部

【3】と【4】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4】 箱の中にボールが m 個入っており,そのうち当たりのボールは 1 個だけである.箱の中から無作為にボールを 1 個取り出し,当たりかどうかを確認して箱に戻すという試行を n 回繰り返す.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  m=4 n=4 のとき,少なくとも 1 回当たりが出る確率を求めよ.

(2)  1 回の試行で当たる確率を p 当たりが出た回数を X とする. X が近似的に正規分布 N (n p,n p (1- p) ) に従うことを利用して, m=10 n=100 のときの P (X 10) を求めよ.

(3) 標準正規分布に従う確率変数を Z とする.確率変数 Y が二項分布 B (n ,p) に従い, y 0 以上の整数であるとき,

P( Yy) P( Z y-0.5- np np (1- p) )

として近似を行うと,(2)の近似より精度が高いといわれている.このことを用いて, m=10 n=100 のときの P (X 10) を求めよ.また,以下の数表を用いてよい.

u 0 1 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5
P( 0Z u) 0.000 0.040 0.044 0.050 0.057 0.066 0.079

2017 滋賀大学 前期

データサイエンス学部

【5】と【6】から1題選択

易□ 並□ 難□

【6】 次の問いに答えよ.

(1) 等式 f (x )=e x - 01 tf (t) dt を満たす関数 f ( x) を求めよ.

(2) 等式 g (x )=e x - 01 t {g (t) }2 dt を満たす関数 g (x ) を求めよ.

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