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2017 九州工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=x ( x2+ 1) e- x2 について,次に答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.

(ⅰ) 関数 g (t )= t2 e-t の増減を調べ, t>1 のとき g (t )<1 であることを示せ.

(ⅱ)  k=0 1 2 3 に対して, x>1 のとき xk e-x 2< 1 x4- k が成立することを示し, limx xk e- x2 =0 を示せ.

(ⅲ) 関数 y =f( x) について,増減および漸近線に注意して,そのグラフの概形をかけ.ただし,グラフの凹凸は調べなくてよい.

(ⅳ)  s0 に対して,定積分 F (s )= 0s f( x) dx を計算し, lims F( s) を求めよ.

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【2】 座標平面上で,曲線

x=θ -sinθ y=1 +cosθ 0<θ <2 π

C とする.次に答えよ.

(ⅰ) 曲線 C 上の点 ( θ-sin θ,1+ cosθ ) における接線の方程式を求めよ.

(ⅱ) 曲線 C は下に凸であることを示せ.

(ⅲ)  0<θ <π のとき,点 P ( θ-sin θ,1 +cosθ ) における曲線 C の接線と,点 Q ( θ+π -sin (θ+ π), 1+cos (θ+ π) ) における曲線 C の接線が,垂直に交わることを示せ.

(ⅳ) (ⅲ)の 2 点を結んだ線分 PQ の長さの最大値とそのときの θ の値を求めよ.

(ⅴ) (ⅳ)で求めた θ に対応する点 P Q x 座標を,それぞれ α β とする.曲線 C x 軸,および 2 直線 x =α x= β で囲まれた部分の面積を求めよ.

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【3】  a を実数とする.関数 f (x ) g( x)

f( x)= sin2 x+( 0a g (t) dt ) sinx

g( x)= e-x (- x+ 0π 2f (t )d t)

をみたすとき,次に答えよ.

(ⅰ)  A= 0a g (t )d t B= 0π2 f (t) dt とおくとき, B A を用いて表せ.

(ⅱ)  f( x) g (x ) a を用いて表せ.

(ⅲ)  0<x < π2 において, f( x)= 0 となるときの cos x の値を a を用いて表せ.

(ⅳ)  -2 a0 において, 0π2 |f (x) | dx を最小にする a の値を求めよ.

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【4】 数 1 と数 2 の並びを考える.たとえば, 1 2 1 の順の並びを ( 1,2, 1) で表す.和が自然数 n となるような数 1 と数 2 の並びの集合を Sn と表し, Sn の要素の個数を a n とする.たとえば, n=3 のとき, 3=2 +1=1 +2=1 +1+1 となるので, S 3= {( 2,1) ,(1 ,2) ,(1 ,1,1 )} a 3=3 となる.次に答えよ.

(ⅰ)  a4 および a 5 を求めよ.

(ⅱ)  an+ 2 a n+1 a n で表せ.

(ⅲ)  i= 1n ai =an+ 2-2 となることを示せ.

(ⅳ)  Sn+ 3 から並びを一つ選ぶとき,その並びの 1 番目の数が 1 となる確率を a n+1 a n+2 を用いて表せ.

(ⅴ)  S n+3 から並びを一つ選ぶとき,その並びの 2 番目の数が 2 となる確率を a n+1 a n+2 を用いて表せ.

(ⅵ)  S n+4 から並びを一つ選ぶ.選んだ並びの 2 番目の数が 2 であるとき,その並びの 1 番目の数が 1 である確率を a n+1 a n+2 を用いて表せ.

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