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2017 岐阜薬科大学 中期

易□ 並□ 難□

【1】  AB1 =8 B1 C1 =4 C1 A=6 AB1 C1 において,内接円 O 1 の面積を S 1 とする.辺 B1 C1 に平行で,内接円 O 1 に接する直線が辺 AB 1 AC 1 と交わる点を,それぞれ B2 C 2 とし, AB 2C 2 の内接円 O 2 の面積を S 2 とする.以下,同様な操作を繰り返して, ABn Cn をつくり,その内接円 O n の面積を S n とする.ただし, n は自然数とする.以下の問いに答えよ.

(1)  sinA および sin A 2 を求めよ.

(2) 内接円 O 1 の半径 r 1 を求めよ.

(3) 内接円 O n+1 の半径 r n+1 と内接円 O n の半径 r n の関係式を求めよ.

(4) 無限級数 n =1 Sn を求めよ.

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【2】 ジョーカーを除いた 1 組のトランプ 52 枚の中から, A 君が 3 枚のカードを同時に引いた.以下の問いに答えよ.

(1)  A 君がハートのエースを持っている確率を求めよ.

(2)  A 君が少なくとも 1 枚はエースを持っている確率を求めよ.

(3)  A 君が「ハートのエースを持っている」と言ったとき,さらに 1 枚以上エースを持っている確率を求めよ.

(4)  A 君が「少なくとも 1 枚はエースを持っている」と言ったとき,さらに 1 枚以上エースを持っている確率を求めよ.

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【3】 以下の問いに答えよ.

(1) 不等式 14< 0.5x< 1 を解け.

(2) (1)を満たす x の値の範囲のうち, logx y-logy x1 2< 12 を満たす点 ( x,y ) が存在する領域を図示せよ.

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【4】  α β γ は,次の関係式を満たす 0 でない複素数とする.

{ α=3 +i 2α 2-2 αβ+ β2= 0 γ= 3 α-i β2 -i

4 O( 0) A (α ) B (β ) C (γ ) について,以下の問いに答えよ.ただし, 0arg β π2 とする.

(1)  AOB を求めよ.

(2)  ABC の面積を求めよ.

(3)  ABC の内接円の中心 I を表す複素数を求めよ.

(4)  ABC の外接円の中心 D を表す複素数を求めよ.

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【5】 以下の問いに答えよ.

(1) 等式 x 3 (x+ 1)2 (x 2+3 ) =A x+1 + B( x+1) 2+ C x+D x2+ 3 が成り立つように,定数 A B C D の値を定めよ.

(2) 関数 y = x3 (x +1) 2 (x2 +3 ) の増減を調べ,極値を求めよ.

(3) 曲線 y = x3 (x +1) 2 (x2 +3 ) と直線 x =1 および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

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