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2017 愛知県立大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 原点を O ( 0,0 ) とする座標平面上に,点 A (3 ,1) B ( 2,2 3) C ( -3,3 3) D (- 1, 1 3 ) があり,次の規則で動く点 P がある.

規則

1. 点 P は,始めに点 A の位置にある.

2. さいころを投げて,出た目が 3 の倍数であれば次の位置へ移動する.

3. 点 P は,点 B C D C B A の順に移動する.

S( n) n 回さいころを投げたときの AOP の面積とする.ただし,点 P と点 A が一致しているときは S (n )=0 とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  AOB AOC AOD の面積を求めよ.

(2)  S( 3)= 0 となる確率を求めよ.

(3)  S( 5) 3 となる確率を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an } a1= 1 4 および,関係式

log2 an an+ 1 =2+ log2 n +1n

を満たしている.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a3 を求めよ.

(2) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(3)  Sn = k= 1n k2 ak を求めよ.

(4) (3)の S n について, limn S n を求めよ.ただし, h>0 のとき,任意の自然数 n に対して (1 +h) n 1+n h+ n( n-1) 2 h 2 が成り立つことを用いてよい.

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易□ 並□ 難□

【3】 自然数 n に対して,

An = 0π ex xn -1 sinx dx B n= 0π ex x n-1 cosx dx

とおく.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  A1 +B1 A1 -B1 の値をそれぞれ求めよ.

(2)  An+ 1 An Bn を用いて, Bn+ 1 An Bn を用いてそれぞれ表せ.

(3)  A3 B3 の値をそれぞれ求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 複素数 α および β ( αβ )2 =8 i を満たしている.ただし, β0 である.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  α β を求めよ.ただし, 0arg α β π とする.

(2)  α=5 -i γ =4+i のとき,複素数平面上の 3 A ( α+γ ) B (β +γ) C ( γ) を頂点とする ABC の重心を求めよ.

(3) (2)の α に対して,複素数平面上で複素数 δ を表す点が | δ|= 1 を動くとき, 3 O (0 ) D (δ α ) E (δ β ) を頂点とする ODE の重心が描く図形を求めよ.

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