2017 名古屋市立大 中期薬学部MathJax

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2017 名古屋市立大 中期

薬学部

易□ 並□ 難□

【1】 正の実数 x について,以下の問いに答えよ.

(1) 自然数 n に対し,不等式 e x> xnn ! が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ.

(2) 前問で示した不等式を用いて極限値 limx xae x を求めよ.ただし, a は実数の定数である.

(3) 前問の結果を用いて極限値 limx +0 xb logx を求めよ.ただし, b は正の定数である.

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易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の曲線 C y=f (x ) に関し,以下の問いに答えよ.ただし,

f( x)= ex+ e-x 2

である.

(1)  f( x) は以下の関係式を満たすことを示せ.

(ⅰ)  { f( x)} 2- {f ( x) }2 =1

(ⅱ)  f (x )=f ( x)

ただし, f (x ) および f ( x) は,それぞれ, f( x) x に関する 1 階および 2 階の導関数を表す.

(2) 曲線 C 上の点 A ( a,f (a) ) と点 B ( 0,f (0 )) の間の曲線の長さ L を求めよ.ただし, a a 0 を満たす定数である.

(3) 点 A における曲線 C の接線上に点 P ( X,Y ) AP の距離が L に等しくなるようにとる.ただし, Xa とする.このとき, X および Y を, a を用いて表せ.

(4) 点 A を動かしたときに点 P の描く曲線を D とする. a>0 のとき,曲線 C の点 A における接線と曲線 D の点 P における接線は常に直交することを示せ.

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易□ 並□ 難□

2017年名古屋市立大中期薬学部【3】2017114910303の図

【3】 サイコロを繰り返し振って,出た目の数だけ駒を右に進め,駒がゴールちょうどに着いたら勝ち,通り過ぎたら負けとするゲームを行う.ゲーム盤は右図のような数直線からできており,ゲームは 0 からスタートし,ゴールを n とする.また, 1 から 6 までの目があるサイコロを使う.以下の問いに答えよ.

(1)  n=4 の場合の勝つ確率を求めよ.

(2)  n=10 の場合,サイコロを振ってちょうど 5 回目に勝つ確率を求めよ.

(3)  n=12 の場合,サイコロを振ってちょうど 5 回目に勝つ確率を求めよ.

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