2017 京都府立医科大学 前期

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2017 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 正二十面体 X を考える.

(1)  X のそれぞれの面が正三角形であることを用いて, X の辺の数と頂点の数および 1 つの頂点にあつまる辺の数を求めよ.

 次に X 1 辺の長さは 2 とし, X は球 Q の表面に内接しているとする. Q の中心を O とする. X 上の 1 つの頂点 A とそのとなりにある頂点 B 1 つとる.直線 OA 上にある A と異なる X の頂点を C 直線 OB 上にある B と異なる X の頂点を D とおく.

(2) 頂点 A B C D は同一平面上にあり,四角形 ABCD は長方形であることを証明せよ.

(3) 線分 AD の長さを求めよ.

(4)  Q の表面積を求めよ.

(5)  X の体積を求めよ.

(6)  X 1 つの辺を共有する 2 つの面に O から下ろした垂線をそれぞれ OH OK とする.このときベクトル OH OK の内積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )=x e- x x0 を考える.

(1) 増減と凹凸を調べて,関数 f (x ) のグラフの概形をかけ.

(2)  xy 平面上において曲線 y =f( x) と直線 y =x e2 で囲まれた部分の面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  xyz 空間において,原点 O を中心とする半径 1 の球面を S とする. a を正の実数とし,点 A ( 1,0, 0) と点 P ( 0,a, 0) を通り z 軸に平行な平面を H とする. H z x 平面のなす角を θ (0< θ< π2 ) とおく. H S の交わりである円を C とおく.

(1)  a θ を用いて表せ.

(2)  C の中心の座標を θ を用いて表せ.

(3)  H 上の C で囲まれた部分を底面とし,原点 O を頂点とする円錐の体積を V とする. V の最大値とそのときの a の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  0<a <1 である実数 a に対して,数列 { an }

a1 =a a n+1 =4 an (1- an ) n= 1 2 3

で定義する.

(1)  a= 12 のとき, an n=1 2 3 を求めよ.

(2) すべての自然数 n について, 0a n1 であることを証明せよ.

(3)  0<a k< 1 4 をみたす自然数 k について, ak+ 1>3 ak であることを証明せよ.

(4)  am 34 をみたす自然数 m が存在することを証明せよ.

(5)  limn an =0 であるとき, aN =0 となる自然数 N が存在することを証明せよ.

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