2017 和歌山県立医科大学 前期

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2017 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1) 実数を係数とする 3 次の整式 P (x ) があり, P( x) 2 次式 x2+a x+b で割り切れるとする.また方程式 P (x )=0 は異なる 3 つの解を持ち,それらの絶対値は等しいとする.このとき, a b が満たすべき条件を求め,さらに a b を用いて P (x ) を表せ.ただし, a b は実数であるとし,また P (x ) 3 次の係数は 1 とする.

(2) 実数を係数とする 4 次方程式 Q (x )=0 は異なる 4 つの解を持ち,それらは複素数平面において同一円周上にあるとする.解の 2 つが - 3 5+ 4i であるとき,他の 2 つの解を求めよ.ただし, i は虚数単位である.

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易□ 並□ 難□

【2】  O を原点とする座標空間において,中心が点 ( 1,0, 0) で半径が 1 の球面を S とし, S x y 平面と交わってできる円を C とする.点 P はこの C 上を動くものとし, x 軸に関して P と対称な点を P とする.三角形 OPP の重心 G を通り x 軸と平行な直線が S と交わる 2 点のうち, z 座標が正のものを Q とする.四面体 OPP Q の体積 V の最大値とそのときの P の座標を求めよ.

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【3】  a b p は自然数であるとする.さらに p は素数であり,ある整数 n p =an 2+b n+6 と表されているとする.また 2 次方程式 a x2 +bx +6=0 は整数の解を少なくとも 1 つ持ち,かつ絶対値が 1 より小さな解は持たないとする.このときの自然数の組 ( a,b, p) をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  O を原点とする座標平面に 2 P ( -1+cos t,sin t) Q ( 1+cos 3t, sin3 t) がある.ただし, 0t π とする.

(1)  3 O P Q が一直線上にあるような t をすべて求めよ.

(2)  3 O P Q が一直線上にないとき, cost を用いて sin POQ を表せ.

(3) (2)と同じ条件の下で, sin POQ t の関数として考えたときのグラフをかけ.

(4)  3 O P Q が一直線上になく,さらに線分 OP と線分 PQ の長さが等しくなるときの三角形 OPQ の面積を求めよ.ただし,そのときの t は求めなくてよい.

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