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2017 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(1)  x の多項式 P (x ) ( x+1) 2 および x -1 で割ったときの余りは,それぞれ 3 x+1 -4 である.このとき, P (x ) ( x+1) 2( x-1 ) で割ったときの余りを求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(2) 放物線 y =x2 上の点で,点 ( 6,3 ) との距離がもっとも小さくなるようなものの x 座標を求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(3)  x の方程式 x 2-3 x-2- 3x + 1x2 =0 の実数解をすべて求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(4)  t が実数全体を動くとき, 2 直線 t x-y -2t =0 x +2t y-2 t=0 の交点 ( x,y ) について, x+y が取り得る値の範囲を求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(5)  x>0 y>0 x+2 y=10 のとき, log10 x+log 10y の最大値を求めよ.ただし, log10 2=0.301 とする.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(6)  1 辺の長さが 2 の正方形の周および内部を A とし,正方形の対角線の交点を中心として A 45 ° 回転させたものを B とする. A B の共通部分の面積を求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(7)  3 辺の長さが 5 6 7 である三角形の内接円の半径を求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(8)  π 2<α <π<β <3 2 π について, sinα +cosβ =1 6 sin αcos β=- 16 とする.このとき, cos( α+β ) の値を求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(9) 次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ.

x2 y y 2x+3 y-x +6

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(10)  2 つの円 x 2+y 24 ( x-6 )2 +( y-6 )2 4 の共通部分の面積を求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(11) 極限値 limx - (x 2+5 x+1 -x 2+1 ) を求めよ.

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【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(12)  y= sinx 1+cos x x について微分せよ.

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【2】  0 1 2 3 4 5 6 7 8 つの数について,次の各問に答えよ.

(1) 上の 8 つの数から異なる 4 つの数をとって 4 けたの数をつくるとき,何通りの数ができるか.

(2) (1)のうち, 4 の倍数は何通りできるか.

(3) 上の 8 つの数から異なる 2 つの数をとる組合せをすべて考え,それぞれの組合せについて 2 つの数の積をとる.このようにしてできる積の総和を求めよ.

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【3】  n を自然数とする.次の主張と証明を読み,後の設問に答えよ.

【主張1】数 1 2 2 n からどのように n +1 個の数 a1 a 2 an+1 を選んでも,その中には互いに素な 2 つの数が存在する.

【主張2】数 1 2 2 n からどのように n +1 個の数 a1 a 2 an+1 を選んでも,その中には一方がもう一方を割り切る 2 つの数が存在する.

【証明】まず主張1を証明する. a1 a 2 an+1 (ア) a1< a2< <a n+1 をみたしているとしてよい.このとき,これら n +1 個の数の中には 1 だけ離れた 2 つの数が存在する.なぜなら,どの 2 つも 2 以上離れているとすると

a1 1 a 2+2 3 a 3a 2+2 5 a n+1 2n+1

となり,(イ)矛盾が生じるからである.

  ak k=1 2 n+1 の中から 1 だけ離れている 2 つの数を選び,それらを a a +1 とする.このとき,(ウ)これらは互いに素である.よって主張1が証明された.

 次に主張2を証明する. k=1 2 n+1 に対して, ak を割り切る最大の 2 のベキを 2 ek とする.つまり 2 ek a k を割り切るが, 2ak +1 a k を割り切らない.すると各 k に対して ak=2 ek bk b k は自然数)とかける.さらに(エ) bk は奇数である.

  1 以上 2 n-1 以下の奇数は n 個しかないので,(オ) b1 b 2 bn+ 1 の中には等しいものがある.それらを b k b l 1k< ln+ 1 とし, bk= bl= m とおく.このとき a k=2 ek m a l=2 el m であり, e.k el である.したがって(カ) a k a l のどちらか一方はもう一方を割り切る.よって主張2も証明された.

[設問]

(1) 下線部(ア)の理由を説明せよ.

(2) 下線部(イ)の理由を説明せよ.

(3) 下線部(ウ)の理由を説明せよ.ただし,一般に自然数 m n が互いに素であるとは,自然数 d m n を用いて m =dm n= dn とかいたときに必ず d =1 となることをいう.

(4) 下線部(エ)の理由を説明せよ.

(5) 下線部(オ)の理由を説明せよ.

(6) 下線部(カ)の理由を説明せよ.

(7)  n2 のとき,主張1において n +1 個の数を選ぶかわりに n 個の数を選ぶこととすると,結論は成り立たなくなる. n=3 の場合と一般の n の場合について,反例となる n 個の選び方をそれぞれ示しなさい.

(8)  n2 のとき,主張2において n +1 個の数を選ぶかわりに n 個の数を選ぶこととすると,結論は成り立たなくなる. n=3 の場合と一般の n の場合について,反例となる n 個の選び方をそれぞれ示しなさい.

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