2018　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］(1)　$x$を実数とし

$A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)$

とおく．整数$n$に対して

$(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\boxed{\text{ア}}n$

であり，したがって，$X=x(5-x)$とおくと

$A=X(X+\boxed{\text{イ}})(X+\boxed{\text{ウエ}})$

と表せる．

　$x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}}$のとき，$X=\boxed{\text{オ}}$であり，$A=2^{\boxed{\text{カ}}}$である．

(2)　実数$x$が

$(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)=-16$

を満たすとき，$x(5-x)=\boxed{\text{キクケ}}$である．したがって，このとき

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

【１】

［２］(1)　全体集合$\mathrm{U}$を$\mathrm{U}=\{x|x\text{は}20\text{以下の自然数}\}$とし，次の部分集合$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を考える．

$\mathrm{A}=\{x|x\in \mathrm{U}\text{かつ}x\text{は}20\text{の約数}\}$

$\mathrm{B}=\{x|x\in \mathrm{U}\text{かつ}x\text{は}3\text{の倍数}\}$

$\mathrm{C}=\{x|x\in \mathrm{U}\text{かつ}x\text{は偶数}\}$

集合$\mathrm{A}$の補集合を$\bar{\mathrm{A}}$と表し，空集合を$\mathrm{\varphi }$と表す．

　次の$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

集合の関係

(a)　$\mathrm{A}\subset \mathrm{C}$

(b)　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\mathrm{\varnothing }$

の正誤の組合せとして正しいものは$\boxed{\text{セ}}$である．

　次の$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

集合の関係

(c)　$(\mathrm{A}\cup \mathrm{C})\cap \mathrm{B}=\{6,12,18\}$

(d)　$(\bar{\mathrm{A}}\cap \mathrm{C})\cup \mathrm{B}=\bar{\mathrm{A}}\cap (\mathrm{B}\cup \mathrm{C})$

の正誤の組合せとして正しいものは$\boxed{\text{ソ}}$である．

(2)　実数$x$に関する次の条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$を考える．

$p\text{：}|x-2|>2\text{，}$$q\text{：}x<0\text{，}$$r\text{：}x>4\text{．}$$s\text{：}\sqrt{x^2}>4$

　次の$\boxed{\text{タ}}\text{，}$$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちからそれぞれ一つ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$q$または$r$であることは，$p$であるための$\boxed{\text{タ}}\text{．}$また，$s$は$r$であるための$\boxed{\text{チ}}\text{．}$

$\overline{)\text{0}}$　必要条件であるが，十分条件ではない

$\overline{)\text{1}}$　十分条件であるが，必要条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【２】　$a$を正の実数とし

$f(x)=a{x}^2-2(a+3)x-3a+21$

とする．$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標を$p$とおくと

$p=\boxed{\text{ア}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{a}}$

である．

(1)　$0\leqq x\leqq 4$における関数$y=f(x)$の最小値が$f(4)$となるような$a$の値の範囲は

$0<a\leqq \boxed{\text{ウ}}$

である．

　また，$0\leqq x\leqq 4$における関数$y=f(x)$の最小値が$f(p)$となるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{エ}}\leqq a$

である．

　したがって，$0\leqq x\leqq 4$における関数$y=f(x)$の最小値が$1$であるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$または$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}+\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

のときである．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わるのは

$0<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$または$\boxed{\text{ス}}<a$

のときである．この二つの交点の間の距離を$L$とする．$2<L<4$となるような$a$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}-\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}+\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}<a$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{21}\text{，}$$\mathrm{AC}=3$とする．

(1)　このとき

$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(2)　点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とするとき，$\mathrm{AH}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\mathrm{CH}=\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．また，線分$\mathrm{CH}$上に$\mathrm{AH}=\mathrm{HD}$を満たす点$\mathrm{D}$をとるとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\text{，}$$\mathrm{CD}=\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}$であるから

$▵\mathrm{ACD}\text{の面積}=\sqrt{\boxed{\text{サ}}}-\boxed{\text{シ}}$

であり

$\sin \angle \mathrm{CAD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}-\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．したがって，$▵\mathrm{ACD}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とすると

${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ACF}\text{の面積}}{▵\mathrm{AEF}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}-\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【４】　ある陸上競技大会に出場した選手の身長（単位は$\mathrm{cm}$）と体重（単位は$\mathrm{kg}$）のデータが得られた．男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループに分けると，それぞれのグループの選手数は，男子短距離が$328$人，男子長距離が$271$人，女子短距離が$319$人，女子長距離が$263$人である．

(1)　次の図１および図２は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループにおける，身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である．

　次の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　図１および図２から読み取れる内容として正しいものは，$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　四つのグループのうちで範囲がもっとも大きいのは，女子短距離グループである．

$\overline{)\text{1}}$　四つのグループのすべてにおいて，四分位範囲は$12$未満である．

$\overline{)\text{2}}$　男子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大の階級に中央値が入っている．

$\overline{)\text{3}}$　女子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大の階級に第$1$四分位数が入っている．

$\overline{)\text{4}}$　すべての選手の中でもっとも身長の高い選手は，男子長距離グループの中にいる．

$\overline{)\text{5}}$　すべての選手の中でもっとも身長の低い選手は，女子長距離グループの中にいる．

$\overline{)\text{6}}$　男子短距離グループの中央値と男子超距離グループの第$3$四分位数は，ともに$180$以上$182$未満である．

図１　身長のヒストグラム

図２　身長の箱ひげ図

（出典：図１，図２はガーディアン社のWebページにより作成）

(2)　身長を$H\text{，}$体重を$W$とし，$X$を$X={\left({\displaystyle \frac{H}{100}}\right)}^2$で，$Z$を$Z={\displaystyle \frac{W}{X}}$で定義する．次の図３は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループにおける$X$と$W$のデータの散布図である．ただし，原点を通り，傾きが$15\text{，}$$20\text{，}$$25\text{，}$$30$である四つの直線$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$$l_3\text{，}$$l_4$も補助的に描いている．また，次の図４の(a)，(b)，(c)，(d)で示す$Z$の四つの箱ひげ図は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループのいずれかの箱ひげ図に対応している．

　次の$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　図３および図４から読み取れる内容として正しいものは，$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　四つのグループのすべてにおいて，$X$と$W$には負の相関がある．

$\overline{)\text{1}}$　四つのグループのうちで$Z$の中央値が一番大きいのは，男子長距離グループである．

$\overline{)\text{2}}$　四つのグループのうちで$Z$の範囲が最小なのは，男子長距離グループである．

$\overline{)\text{3}}$　四つのグループのうちで$Z$の四分位範囲が最小なのは，男子短距離グループである．

$\overline{)\text{4}}$　女子長距離グループのすべての$Z$の値は$25$より小さい．

$\overline{)\text{5}}$　男子長距離グループの$Z$の箱ひげ図は(C)である．

図３　$X$と$W$の散布図

図４　$Z$の箱ひげ図

（出典：図３，図４はガーディアン社のWebページにより作成）

(3)　次の表１は，設問(2)で定義された$X\text{，}$$W$について，女子長距離グループの平均値，標準偏差および共分散を計算したものである．ただし，$X$と$W$の共分散は，$X$の偏差と$W$の偏差の積の平均値である．なお，表１の数値は正確な値であり，四捨五入されていないものとする．

　次の$\boxed{\text{オ}}$に当てはまる数値としてもっとも近い値を，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

　女子超距離グループのデータにおいて，$X$と$W$の相関係数は，$\boxed{\text{オ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$0.603$
• $\overline{)\text{1}}$　$0.653$
• $\overline{)\text{2}}$　$0.703$
• $\overline{)\text{3}}$　$0.753$
• $\overline{)\text{4}}$　$0.803$

(4)　$n$を自然数とする．実数値のデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$に対して，平均値$\bar{x}$を

$\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$

とおくと，分散$s^2$は

$s^2={\displaystyle \frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2}{n}}-{(\bar{x})}^2$

で計算できることが知られている．

　次の$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$に当てはまる数値として最も近い値を，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　女子長距離グループのデータについて考える．

　設問(2)で定義された$X$と$H$の関係を用いると，設問(3)の表１の数値により，このグループの身長のデータを各々$2$乗した値の平均値は$\boxed{\text{カ}}$である．また，このグループの身長の平均値が$165.7$のとき，このグループの身長の分散は$\boxed{\text{キ}}$である．必要ならば，${165.7}^2=27456.49$を用いてもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$4.00$
• $\overline{)\text{1}}$　$27.5$
• $\overline{)\text{2}}$　$43.5$
• $\overline{)\text{3}}$　$44.7$
• $\overline{)\text{4}}$　$104.4$
• $\overline{)\text{5}}$　$275$
• $\overline{)\text{6}}$　$400$
• $\overline{)\text{7}}$　$27500$
• $\overline{)\text{8}}$　$72345$

【１】

〔１〕　$x$を実数とし

$A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)$

とおく．整数$n$に対して

$(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\boxed{\text{ア}}n$

であり，したがって，$X=x(5-x)$とおくと

$A=X(X+\boxed{\text{イ}})(X+\boxed{\text{ウエ}})$

と表せる．

　$x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{2}}$のとき，$X=\boxed{\text{オ}}$であり，$A=2^{\boxed{\text{カ}}}$である．

【１】

［３］　$a$を正の実数とし

$f(x)=a{x}^2-2(a+3)x-3a+21$

とする．$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標を$p$とおくと

$p=\boxed{\text{サ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{a}}$

である．

　$0\leqq x\leqq 4$における関数$y=f(x)$の最小値が$f(4)$となるような$a$の値の範囲は

$0<a\leqq \boxed{\text{ス}}$

である．

　また，$0\leqq x\leqq 4$における関数$y=f(x)$の最小値が$f(p)$となるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{セ}}\leqq a$

である．

　したがって，$0\leqq x\leqq 4$における関数$y=f(x)$の最小値が$1$であるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$または$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

のときである．

【２】

〔１〕　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$3$辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=9\text{，}$$\mathrm{CD}=3\text{，}$対角線$\mathrm{AC}$の長さを$\mathrm{AC}=6$とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．

　ここで，四角形$\mathrm{ABCD}$は台形であるとする．

　次の$\boxed{\text{カ}}$には下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$から，$\boxed{\text{キ}}$には$\overline{)\text{3}}\text{・}$$\overline{)\text{4}}$から当てはまるものを一つずつ選べ．

　$\mathrm{CD}\boxed{\text{カ}}\mathrm{AB}\cdot \sin \angle \mathrm{ABC}$であるから$\boxed{\text{キ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$<$
• $\overline{)\text{1}}$　$=$
• $\overline{)\text{2}}$　$>$

• $\overline{)\text{3}}$　辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行
• $\overline{)\text{4}}$　辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が平行

　したがって

$\mathrm{BD}=\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}$

である．

【２】

［２］　ある陸上競技大会に出場した選手の身長（単位は$\mathrm{cm}$）と体重（単位は$\mathrm{kg}$）のデータが得られた．男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループに分けると，それぞれのグループの選手数は，男子短距離が$328$人，男子長距離が$271$人，女子短距離が$319$人，女子長距離が$263$人である．

(1)　次の図１および図２は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループにおける，身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である．

　次の$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　図１および図２から読み取れる内容として正しいものは，$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　四つのグループのうちで範囲がもっとも大きいのは，女子短距離グループである．

$\overline{)\text{1}}$　四つのグループのすべてにおいて，四分位範囲は$12$未満である．

$\overline{)\text{2}}$　男子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大の階級に中央値が入っている．

$\overline{)\text{3}}$　女子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大の階級に第$1$四分位数が入っている．

$\overline{)\text{4}}$　すべての選手の中でもっとも身長の高い選手は，男子長距離グループの中にいる．

$\overline{)\text{5}}$　すべての選手の中でもっとも身長の低い選手は，女子長距離グループの中にいる．

$\overline{)\text{6}}$　男子短距離グループの中央値と男子超距離グループの第$3$四分位数は，ともに$180$以上$182$未満である．

図１　身長のヒストグラム

図２　身長の箱ひげ図

（出典：図１，図２はガーディアン社のWebページにより作成）

(2)　身長を$H\text{，}$体重を$W$とし，$X$を$X={\left({\displaystyle \frac{H}{100}}\right)}^2$で，$Z$を$Z={\displaystyle \frac{W}{X}}$で定義する．次の図３は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループにおける$X$と$W$のデータの散布図である．ただし，原点を通り，傾きが$15\text{，}$$20\text{，}$$25\text{，}$$30$である四つの直線$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$$l_3\text{，}$$l_4$も補助的に描いている．また，次の図４の(a)，(b)，(c)，(d)で示す$Z$の四つの箱ひげ図は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループのいずれかの箱ひげ図に対応している．

　次の$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　図３および図４から読み取れる内容として正しいものは，$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　四つのグループのすべてにおいて，$X$と$W$には負の相関がある．

$\overline{)\text{1}}$　四つのグループのうちで$Z$の中央値が一番大きいのは，男子長距離グループである．

$\overline{)\text{2}}$　四つのグループのうちで$Z$の範囲が最小なのは，男子長距離グループである．

$\overline{)\text{3}}$　四つのグループのうちで$Z$の四分位範囲が最小なのは，男子短距離グループである．

$\overline{)\text{4}}$　女子長距離グループのすべての$Z$の値は$25$より小さい．

$\overline{)\text{5}}$　男子長距離グループの$Z$の箱ひげ図は(C)である．

図３　$X$と$W$の散布図

図４　$Z$の箱ひげ図

（出典：図３，図４はガーディアン社のWebページにより作成）

(3)　$n$を自然数とする．実数値のデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$および$w_1\text{，}$$w_2\text{，}\cdots \text{，}$$w_n$ に対して，それぞれの平均値を

$\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}\text{，}$$\bar{w}={\displaystyle \frac{w_1+w_2+\cdots +w_n}{n}}$

とおく．等式$(x_1+x_2+\cdots +x_n)\bar{w}=n\bar{x}\bar{w}$などに注意すると，偏差の積の和は

$(x_1-\bar{x})(w_1-\bar{w})+(x_2-\bar{x})(w_2-\bar{w})+\cdots$$+(x_n-\bar{x})(w_n-\bar{w})$

$=x_1{w}_1+x_2{w}_2+\cdots +x_n{w}_n-\boxed{\text{ソ}}$

となることがわかる．$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\bar{x}\bar{w}$
• $\overline{)\text{1}}$　${(\bar{x}\bar{w})}^2$
• $\overline{)\text{2}}$　$n\bar{x}\bar{w}$
• $\overline{)\text{3}}$　$n^2\bar{x}\bar{w}$

【３】　一般に，事象$\mathrm{A}$の確率を$P(\mathrm{A})$で表す．また，事象$\mathrm{A}$の余事象を$\bar{\mathrm{A}}$と表し，二つの事象$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の積事象を$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$と表す．

　大小$2$個のさいころを同時に投げる試行において

$\mathrm{A}$を「大きいさいころについて，$4$の目が出る」という事象

$\mathrm{B}$を「$2$個のさいころの出た目の和が$7$である」という事象

$\mathrm{C}$を「$2$個のさいころの出た目の和が$9$である」という事象

とする．

(1)　事象$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の確率は，それぞれ

$P(\mathrm{A})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$P(\mathrm{B})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$P(\mathrm{C})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(2)　事象$\mathrm{C}$が起こったときの事象$\mathrm{A}$が起こる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり，事象$\mathrm{A}$が起こったときの事象$\mathrm{C}$が起こる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(3)　次の$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちからそれぞれ一つ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

$P(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\boxed{\text{サ}}P(\mathrm{A})P(\mathrm{B})$

$P(\mathrm{A}\cap \mathrm{C})\boxed{\text{シ}}P(\mathrm{A})P(\mathrm{C})$

• $\overline{)\text{0}}$　$<$
• $\overline{)\text{1}}$　$=$
• $\overline{)\text{2}}$　$>$

(4)　大小$2$個のさいころを同時に投げる試行を$2$回繰り返す．$1$回目に事象$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$が起こり，$2$回目に事象$\bar{\mathrm{A}}\cap \mathrm{C}$が起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソタ}}}}$である．三つの事象$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がいずれもちょうど$1$回ずつ起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．　

【４】(1)　$144$を素因数分解すると

$144=2^{\boxed{\text{ア}}}\times {\boxed{\text{イ}}}^{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，$144$の正の約数の個数は$\boxed{\text{エオ}}$個である．

(2)　不定方程式

$144x-7y=1$

の整数解$x\text{，}$$y$の中で，$x$の絶対値が最小になるのは

$x=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{キク}}$

であり，すべての整数解は，$k$を整数として

$x=\boxed{\text{ケ}}k+\boxed{\text{カ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{コサシ}}k+\boxed{\text{キク}}$

と表される．

(3)　$144$の倍数で，$7$で割ったら余りが$1$となる自然数のうち，正の約数の個数が$18$個である最小のものは$144\times \boxed{\text{ス}}$であり，正の約数の個数が$30$個である最小のものは$144\times \boxed{\text{セソ}}$である．

【５】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=1\text{，}$$\angle \mathrm{A}=90\mathrm{°}$とする．

　$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

　点$\mathrm{A}$を通る点$\mathrm{D}$で辺$\mathrm{BC}$に接する円と辺$\mathrm{AB}$との交点で$\mathrm{A}$と異なるものを$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$であるから，$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

　次の$\boxed{\text{コ}}$には下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$から，$\boxed{\text{サ}}$には$\overline{)\text{3}}\text{・}$$\overline{)\text{4}}$から当てはまるものを一つずつ選べ．

　${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}}\boxed{\text{コ}}{\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$であるから，直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点は辺$\mathrm{AC}$の端点$\boxed{\text{サ}}$の側の延長上にある．

• $\overline{)\text{0}}$　$<$
• $\overline{)\text{1}}$　$=$
• $\overline{)\text{2}}$　$>$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{A}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\mathrm{C}$

　その交点を$\mathrm{F}$とすると，${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であるから，$\mathrm{CF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．したがって，$\mathrm{BF}$の長さが求まり，${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AB}}}$であることがわかる．

　次の$\boxed{\text{タ}}$には下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$から当てはまるものを一つ選べ．

　点$\mathrm{D}$は$▵\mathrm{ABF}$の$\boxed{\text{タ}}\text{．}$

• $\overline{)\text{0}}$　外心である
• $\overline{)\text{1}}$　内心である
• $\overline{)\text{2}}$　重心である

$\overline{)\text{3}}$　外心，内心，重心のいずれでもない