2018 大学入試センター試験 追試験 数学II・IIBMathJax

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2018 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 座標平面上に点 A ( 1,0 ) P (cos 2θ ,sin2 θ) Q (2 cos3 θ,2 sin3 θ ) をとる. θ π3 θ <π の範囲を動くとき, AP2 +PQ2 の最大値と最小値を求めよう.

  AP2

AP2 = - cos 2θ = - cos2 θ

である.また, PQ2

PQ2= - cos θ

である.

  π 3θ <π であるから, キク <cos θ である.したがって, AP2 +PQ2 は, θ= π のとき最大値 スセ をとり, θ= π のとき最小値 をとる.

2018 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  a を定数とする. x の方程式

4x+ a- 2x+a +a= 0

がただ一つの解をもつとき,その解を求めよう.

(1)  X=2 x とおくと, X のとり得る値の範囲は である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

 また, X を用いて表すと, X 2 次方程式

2 ツテ X2 -2 X+ a=0

となる.この 2 次方程式の判別式を D とすると

D=2 ツテ ( - a )

である.

(2)  a= のとき, の範囲でただ一つの解をもつ.したがって, もただ一つの解をもち,その解は x = ヌネ である.

(3)  a のとき, の範囲でただ一つの解をもつための必要十分条件は, である. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  のとき, もただ一つの解をもち,その解は

x= a- +log2 ( + - a)

である.

2018 大学入試センター試験 追試

数学II,IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を正の実数とし,放物線 y =3x 2 C1 放物線 y =2x 2+ a2 C 2 とする. C1 C 2 の二つの共有点を x 座標の小さい順に A B とする.また, C1 C 2 の両方に第 1 象限で接する直線を l とする.

(1)  B の座標を a を用いて表すと ( , a ) である.

 直線 l と二つの放物線 C1 C2 の接点の x 座標をそれぞれ s t とおく. l x =s C 1 と接するので, l の方程式は

y= s x- s

と表せる.同様に, l x =t C 2 と接するので, l の方程式は

y= t x- t +a 2

とも表せる.これらにより, s t

s= a t= a

である.

 放物線 C 1 s x の部分,放物線 C 2 x t の部分, x 軸,および 2 直線 x =s x= t で囲まれた図形の面積は

- a

である.

(2) 実数 p q r に対し,関数 f (x )= x3+p x2 +qx+ r を考える. f (x ) x =-4 で極値をとるとする.また,曲線 y =f (x ) は点 A B および原点を通るとする.

 このとき, p= q= ツテト r= であり, f (x ) の極小値は ニヌネ である.

 また, a= であり,曲線 y =f (x ) と放物線 C 2 の共有点のうち, A B と異なる点の座標は ( ヒフ , ヘホ ) である.

2018 大学入試センター試験 追試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の 2 ( -2,0 ) (4 ,-2 ) を通る直線を l とする.また,点 ( -1,a- 1) を通り,傾きが - a2 である直線を m とする.ただし, a は正の実数である.

(1)  l の方程式は x + y+ = 0 であり,また, m の方程式は x+ y+ -a=0 である.

  a= のとき 2 直線 l m は一致し, a のとき l m の交点は ( , ケコ ) である.

(2) 以下, a とし,連立不等式

{ x+ y+ 0 x+ y+ -a 0

の表す領域を D とする.

  D から境界線を除いた領域に原点 O が含まれるための必要十分条件は である. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

0   0<a< 1   <a <1 2   <a <2
3   <a 4   1<a 5   2<a

  a を満たすとする.原点を中心とし, D に含まれる円を考える.そのような円のなかで半径が最大のものを C とする. C の半径は

a のとき スセ

a< のとき - a2+

である.特に a = のとき, C の方程式は x 2+y 2= であり, C l C m の共有点の座標は,それぞれ

( ナニ , ネノ ) ( , )

である.

2018 大学入試センター試験 追試

数学II

配点9点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

〔1〕  3 乗して i となる複素数 z を求めよう.

  z=x+ yi とおく.ここで, x y は実数である.等式

( x+y i) 3=i

において,

( x+y i) 3=x 3- x y +( x y- y3) i

であるから, x y は連立方程式

{ x3 - xy = x y-y3 =

の解である.

  x=0 のとき, y= キク である.また, x0 を満たす解は

x=± y=

である.以上から, 3 乗して i となる複素数 z が三つ求められた.

 さらに,それら三つの複素数の 2 乗の積は シス である.

2018 大学入試センター試験 追試

数学II

配点11点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】

〔2〕 次の式を考える.

P= {1+ ( x+ 1x )3 }4

 また, A= (x+ 1x) 3 とする.

(1) 相加平均と相乗平均の大小関係を利用すると, x>0 の範囲で, A の最小値は であり,最小値をとるときの x の値は であることがわかる.

(2)  P A で表すと

P= + A+ A2+ A3+ A4

となる.

 また, の右辺を展開すると

P=k+ s1 x+s2 x2 ++ s12 x12+ t 1x + t2x 2+ + t12x 12

となる.ここで, k s 1 s 2 s12 および t1 t 2 t12 は定数である. k s 6 を求めよう.

  A A 2 A 3 A4 に二項定理を適用して, を比較することにより

k = + × C 6 + C 12 = ニヌネノ

であり

s6= ハヒフ

であることがわかる.

2018 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  s を定数とし,数列 { an } を次のように定義する.

a1= 12 a n+1 = 2an +s an+ 2 n= 1 2 3

(1)  s=4 とする. a2 = a100 = である.

(2)  s=0 とする. bn = 1an とおくと, b1 = である.さらに, bn b n+1 は関係式 b n+1 =bn + を満たすから, {a n} の一般項は

an= n+

である.

(3)  s=1 とする. cn= 1 +an 1-a n とおくと, c1= である.さらに, cn c n+1 の関係式を求め,数列 { cn } の一般項を求めることにより, {a n} の一般項は

an= - +1

であることがわかる.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

(4) (3)の数列 { cn } について

k=1 nc kc n+1 = スセ ( n-1 )

である.

 次に,(3)の数列 { an } について考える. s=1 であることに注意して, の漸化式を変形すると

an an+ 1= (a n-a n+1 )+

である.ゆえに

k=1 na ka k+1 = + +

である.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つずつ選べ.同じものを選んでもよい.



2018 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 点 O を原点とする座標空間に 4 A ( 6,-1 ,1) B ( 1,6, 2) P (2 ,-1,- 1) Q (0 ,1,-1 ) がある. 3 O P Q を通る平面を α とし, OP =p OQ = q とおく.平面 α 上に点 M をとり, |AM | +|MB | が最小となるときの点 M の座標を求めよう.

(1)  |p | = |q | = である.また, p q のなす角は ウエ ° である.

(2)  p および q と垂直であるベクトルの一つとして

n =(1 , , )

をとる.

  OA を実数 r s t を用いて OA= rn +s p+ tq の形に表したときの r s t を求めよう.

  OA n = n n = n p n q であることから, r= となる.また, OA p OA q を考えることにより, s= t= サシ であることがわかる.

 同様に, OB を実数 u v w を用いて OB= un +v p +w q の形に表したとき, u= である.

(3)  r s t を(2)で求めた値であるとし,点 C OC =- rn +s p+ tq となる点とする. C の座標は

( , ソタ , チツ )

である.また,線分 BC と平面 α との交点は, BC 3 : に内分する.

  n p n q OA =r n+ sp +t q OC =- rn +s p+ tq であることにより,線分 AC は平面 α に垂直であり,その中点は α 上にある.よって, α 上の点 M について, |AM | =|CM | が成り立ち, |AM | +|MB | が最小となる M は線分 BC 上にある.したがって,求める M の座標は

( , ニヌ , ノハ )

である.

2018 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.

 ある菓子工場で製造している菓子 1 個あたりの重さ(単位は g )を表す確率変数を X とし, X は平均 m 標準偏差 σ の正規分布 N (m ,σ2 ) に従っているとする.

(1) 平均 m 50.2 で,標準偏差 σ 0.4 のとき,この菓子工場で製造される菓子 1 個あたりの重さが 50 g 未満となる確率は, Z= X-m σ が標準正規分布に従うので

P( X<50) =P( z<- . )= 0. ウエ

である.

(2) 標準偏差 σ 0.4 のとき,製造される菓子 1 個あたりの重さが 50 g 未満となる確率が 0.04 となるように m の値を定めることを考える.まず,標準正規分布に従う確率変数 Z について, P( Z<z ) が最も 0.04 に近い値をとる z を正規分布表から求めると P (Z <- . カキ ) =0.0401 であることがわかり, z=- . カキ となる.よって

P( Z<- . カキ ) =P( X<50 )

と考えることにより, m クケ . とすればよい.

(3) この菓子工場では,製造された菓子を無作為に 9 個選び箱に詰めて 1 個の商品としている. 9 個の菓子の重さ(単位は g )を表す確率変数を X1 X 2 X9 とし,平均 m 50.2 標準偏差 σ 0.4 また,箱の重さはすべて同じで 80 g とする.商品 1 個あたりの重さ(単位は g )を表す確率変数を Y とすると, Y の平均は サシス . Y の標準偏差は . である.

  X1 X2 X9 の標本平均 X 50 未満である確率を求めよう.標本平均の分布が正規分布であることを利用すると, X の標準偏差が 0.4 であるので,確率は 0 . ツテ となる.

(4) この菓子工場では,新しい機械を導入した.新しい機械については,標準偏差 σ 0.2 であるが,平均 m はわかっていない. m を推定するために,この機械で 100 個の菓子を試験的に製造したところ,それらの菓子の重さの標本平均は 50.10 g であった.このとき, m に対する信頼度 95 % の信頼区間は

50. トナ m 50. ニヌ

となる.

 平均 m に対する信頼区間 A mB において, B-A をこの信頼区間の幅とよぶ.信頼度と標準偏差 σ は変わらないものとして,上で求めた信頼区間の幅を半分にするには,標本の大きさを にすればよい. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.



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