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【1】[2] より大きい実数に対して,縦の長さがで横の長さがである長方形を考える.この長方形の中に,右の図のように辺の長さがの正方形を敷き詰める.このとき,残った長方形がもとの長方形と相似であるようなのことを一般に貴金属比という.特に,敷き詰めた正方形が個のときは黄金比,個のときは白銀比,個のときは青銅比と呼ばれている.
次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて平方根の表を用いてもよい.
(1) 縦の長さがで横の長さがである長方形に,辺の長さがの正方形を個敷き詰めたとき,残った長方形がもとの長方形と相似であった.
このとき,の小数部分を求めよ.
(2) 縦の長さがで横の長さがである長方形に,辺の長さがの正方形を個敷き詰めたとき,残った長方形がもとの長方形と相似であった.
このとき,の小数部分を,小数第位を四捨五入して小数第位まで求めよ.
(3) 縦の長さがで横の長さがである長方形に,辺の長さがの正方形を個敷き詰めたとき,残った長方形がもとの長方形と相似であった.また,の小数部分を,小数第位を四捨五入して小数第位まで求めたところ,であった.
このとき,を求めよ.
細部は略す
【1】[3] 引っ越しのとき,大きい荷物の搬入に右のようなクレーン車を使用することがある.
クレーン車に関する名称を右の図のようにし,アームの先端をアームの支点をとする.アームの支点はどのクレーン車においても地面からの高さにあり,作業する地面は,つねに水平であるとする.また,支点を通る水平面とアームを線分とみたてたとのなす角の大きさをアームの角度と呼ぶことにし,アームの角度はを超えないものとする.次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて三角比の表を用いてもよい.
(1) アームの長さをとし,長さは変えないものとする.
真上から見た図
(ⅰ) 右の図はクレーン車と荷物の位置関係を真上から見たものであり,クレーン車のアームの支点から荷物の中心までの水平距離はである.アームの先端が荷物の中心Xの真上にくるようにするためには,アームの角度は何度にすればよいかを求めよ.
クレーンの絵.略す.
(ⅱ) 下の図のように,クレーン車と建物の間に電線がある場合を考える.電線はを通る平面に垂直で,地面からの高さにあり,クレーン車のアームの支点から電線までの水平距離はである.アームが電線の上側にあるときのアームの角度を,下ののうちからすべて選べ.
真上から見た図 |
細部は略す.
(2) アームの全長がであり,アームの先端からの支点で屈折できるようなクレーン車がある.このとき,支点を通る水平面と,線分及び線分のなす角をそれぞれアームの角度,アームの先端までの角度と呼ぶことにする.ただし,アームの長さは変えないものとする.
(ⅰ) 右の図のように,支点で屈折させる.このときのアームの角度とアームの先端までの角度を比べるために,の大きさを知りたい.の大きさとして,最も近いものを,次ののうちから一つ選べ.ただし,点は,支点を通る水平面上にあるアームの先端の真下の点とし,点は,すべて同一平面上にあるものとする.
(ⅱ) 右の図のように,支点で角度だけ屈折させる.アームの角度がのとき,支点を通る水平面上において,アームの先端の真下の点と,屈折させる前の先端の真下の点の位置を比べたい.線分の長さをを用いた式で表せ.解答は,解答欄に記述せよ.ただし,とし,点は,すべて同一平面上にあるものとする.
【2】[1] 太郎さんと花子さんが働いている弁当屋では,ランチ弁当を販売している.その売り上げを伸ばすために,チラシ配りのアルバイトを雇っている.
次の表は,このアルバイトの人数ごとに,日の弁当の売上個数の平均値をまとめたものである.アルバイトの人数が人のときのデータはチラシを配らなかった日の売上個数の平均値を表している.
アルバイトの人数 | |||||
弁当の売上個数(平均値) |
二人の会話を読んで,下の問いに答えよ.
太郎:アルバイトを増やすほど売上個数が増えているね.もっとアルバイトを増やせば,さらに売り上げが伸びるんじゃないかな.
花子:でも,アルバイトの数が増えるにつれて,売上個数の増え方はだんだん減っているよ.それに,アルバイトを増やすと経費が増えるから,利益が増えるかどうかをよく考えないと.
太郎:アルバイトの人数を人として横軸に,チラシを配らなかった日と比べたときの売上個数の増加数を個として縦軸にとったグラフをかいて傾向を調べてみよう.
アルバイトの人数(人) | |||||
弁当の売上個数の増加数(個) |
花子:次関数のグラフが横になったようなグラフだね.
太郎:縦軸と横軸を入れ替えてみようよ.
花子:次関数のグラフに見えるね.
太郎:の関係が成り立っているようだね.に対して,との比を求めてみると,の小数第位を四捨五入したものは,すべてになっているので,も含めてに対してが成り立つと仮定して考えてみよう.
(1) に当てはまる最も適当な数を,次ののうちから一つ選べ.
花子:利益がどれくらい増えるかが大事だから,アルバイト代や弁当個あたりの利益に基づいて考えないと.
太郎:アルバイト一人あたり日円だからアルバイト代は円,弁当個あたりの利益は円だったね.
花子:利益の増加額を円とすると,は弁当個あたりの利益と売上個数の増加数の積からアルバイト代を引いた式で表せるね.
を使うと,をだけで表すことができるよ.
太郎:をで表した式を作って計算すると,
となるね.この式のがの範囲で最大になるときを考えればいいんだね.
(2) に当てはまる数を答えよ.
(3) 下線部に関して,一般に,次関数がの範囲で最大値をもつのは,のグラフがどのような特徴をもつときか.そのグラフの特徴を,二つの語句「凸」と「頂点の座標」を用いて説明せよ.解答は,解答欄に記述せよ.
花子:の値を最大にするの値が決まれば,を使ってそのときのが求められるね.
太郎:これで,利益の増加額を最大にするアルバイトの人数がわかるね.
(4) 太郎さんと花子さんの考え方によると,利益の増加額を最大にするためには,アルバイトの人数は何人にすればよいか.最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.ただし,必要に応じて平方根の表を用いてもよい.
アルバイトを雇わない方がよい.
アルバイトが多ければ多いほどよい.