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2018 大学入学共通テスト記述式を含む参考問題例

公表時期不明も11月以前か?

正解

易□ 並□ 難□

【1】[1] 次の問題に対する解答には誤った式変形が含まれている.誤りである式変形を下の記号A〜Dのうちから一つ選び,その式変形が誤りである理由を説明せよ.解答は,解答欄 (あ) に記述せよ.

問題  a を実数とするとき,次の式を簡単にせよ.

(1)  a2 +2a +1 (2)  a4+ 2a2 +1

(1)の解答

= a2 +2 a+1

= (a+ 1)2

=a +1

(2)の解答

= a4 +2 a2 +1

= ( a2+ 1) 2

=a 2+1

A: から への式変形

B: から への式変形

C: から への式変形

D: から への式変形

2018 大学入学共通テスト記述式を含む参考問題例

公表時期不明も11月以前か?

正解

易□ 並□ 難□

【1】[2]  1 より大きい実数 x に対して,縦の長さが 1 で横の長さが x である長方形を考える.この長方形の中に,右の図のように 1 辺の長さが 1 の正方形を敷き詰める.このとき,残った長方形がもとの長方形と相似であるような x のことを一般に貴金属比という.特に,敷き詰めた正方形が 1 個のときは黄金比, 2 個のときは白銀比, 3 個のときは青銅比と呼ばれている.

 次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて平方根の表を用いてもよい.

(1) 縦の長さが 1 で横の長さが a である長方形に, 1 辺の長さが 1 の正方形を 3 個敷き詰めたとき,残った長方形がもとの長方形と相似であった.

 このとき, a の小数部分を求めよ.

アイ - 2

(2) 縦の長さが 1 で横の長さが b である長方形に, 1 辺の長さが 1 の正方形を 9 個敷き詰めたとき,残った長方形がもとの長方形と相似であった.

 このとき, b の小数部分を,小数第 4 位を四捨五入して小数第 3 位まで求めよ.

0. エオカ

(3) 縦の長さが 1 で横の長さが c である長方形に, 1 辺の長さが 1 の正方形を n 個敷き詰めたとき,残った長方形がもとの長方形と相似であった.また, c の小数部分を,小数第 4 位を四捨五入して小数第 3 位まで求めたところ, 0.162 であった.

 このとき, n を求めよ.

n=

2018 大学入学共通テスト記述式を含む参考問題例

公表時期不明も11月以前か?

正解

易□ 並□ 難□

細部は略す

【1】[3] 引っ越しのとき,大きい荷物の搬入に右のようなクレーン車を使用することがある.

 クレーン車に関する名称を右の図のようにし,アームの先端を A アームの支点を B とする.アームの支点 B はどのクレーン車においても地面から 1.8 m の高さにあり,作業する地面は,つねに水平であるとする.また,支点 B を通る水平面とアームを線分とみたてた AB とのなす角の大きさをアームの角度と呼ぶことにし,アームの角度は 90 ° を超えないものとする.次の問いに答えよ.ただし,必要に応じて三角比の表を用いてもよい.

(1) アームの長さ AB 10 m とし,長さは変えないものとする.

真上から見た図

(ⅰ) 右の図はクレーン車と荷物の位置関係を真上から見たものであり,クレーン車のアームの支点 B から荷物の中心 X までの水平距離は 5 m である.アームの先端 A が荷物の中心Xの真上にくるようにするためには,アームの角度は何度にすればよいかを求めよ. クケ °





クレーンの絵.略す.





(ⅱ) 下の図のように,クレーン車と建物の間に電線がある場合を考える.電線は A B X を通る平面に垂直で,地面から 5 m の高さにあり,クレーン車のアームの支点 B から電線までの水平距離は 2 m である.アームが電線の上側にあるときのアームの角度を,下の 0 7 のうちからすべて選べ

真上から見た図

細部は略す.

(2) アームの全長が 8 m であり,アームの先端 A から 3 m の支点 C で屈折できるようなクレーン車がある.このとき,支点 B を通る水平面と,線分 BC 及び線分 AB のなす角をそれぞれアームの角度,アームの先端までの角度と呼ぶことにする.ただし,アームの長さは変えないものとする.

(ⅰ) 右の図のように,支点 C 60 ° 屈折させる.このときのアームの角度とアームの先端までの角度を比べるために, ∠CBA の大きさを知りたい. ∠CBA の大きさとして,最も近いものを,次の 0 7 のうちから一つ選べ.ただし,点 D は,支点 B を通る水平面上にあるアームの先端 A の真下の点とし,点 A B C D は,すべて同一平面上にあるものとする.

(ⅱ) 右の図のように,支点 C で角度 θ 1 だけ屈折させる.アームの角度が θ 2 のとき,支点 B を通る水平面上において,アームの先端 A の真下の点 D と,屈折させる前の先端 A の真下の点 D の位置を比べたい.線分 D D の長さを θ1 θ2 を用いた式で表せ.解答は,解答欄 (い) に記述せよ.ただし, 0 ° <θ1 <90 ° 0 ° <θ2 <90 ° θ1 <θ2 とし,点 A A B C D D は,すべて同一平面上にあるものとする.

2018 大学入学共通テスト記述式を含む参考問題例

公表時期不明も11月以前か?

正解

易□ 並□ 難□

【2】[1] 太郎さんと花子さんが働いている弁当屋では,ランチ弁当を販売している.その売り上げを伸ばすために,チラシ配りのアルバイトを雇っている.

 次の表は,このアルバイトの人数ごとに, 1 日の弁当の売上個数の平均値をまとめたものである.アルバイトの人数が 0 人のときのデータはチラシを配らなかった日の売上個数の平均値を表している.

アルバイトの人数 0 1 2 3 4
弁当の売上個数(平均値) 120.0 137.9 145.3 151.0 155.8

 二人の会話を読んで,下の問いに答えよ.

太郎:アルバイトを増やすほど売上個数が増えているね.もっとアルバイトを増やせば,さらに売り上げが伸びるんじゃないかな.

花子:でも,アルバイトの数が増えるにつれて,売上個数の増え方はだんだん減っているよ.それに,アルバイトを増やすと経費が増えるから,利益が増えるかどうかをよく考えないと.

太郎:アルバイトの人数を n 人として横軸に,チラシを配らなかった日と比べたときの売上個数の増加数を x 個として縦軸にとったグラフをかいて傾向を調べてみよう.

アルバイトの人数 n (人) 0 1 2 3 4
弁当の売上個数の増加数 x (個) 0.0 17.9 25.3 31.0 35.8

花子: 2 次関数のグラフが横になったようなグラフだね.

太郎:縦軸と横軸を入れ替えてみようよ.

花子: 2 次関数のグラフに見えるね.

太郎: n=a x2 の関係が成り立っているようだね. n=1 2 3 4 に対して, x2 n の比を求めてみると, x 2n の小数第 1 位を四捨五入したものは,すべて になっているので, n>4 も含めて n 0 に対して n = x2 が成り立つと仮定して考えてみよう.

(1)  に当てはまる最も適当な数を,次の 0 6 のうちから一つ選べ.

花子:利益がどれくらい増えるかが大事だから,アルバイト代や弁当 1 個あたりの利益に基づいて考えないと.

太郎:アルバイト一人あたり 1 800 円だからアルバイト代は 800 n 円,弁当 1 個あたりの利益は 220 円だったね.

花子:利益の増加額を y 円とすると, y は弁当 1 個あたりの利益と売上個数の増加数 x の積からアルバイト代を引いた式で表せるね.

n= x2 を使うと, y x だけで表すことができるよ.

太郎: y x で表した式を作って計算すると,

y= イウ x2+ オカキ x

となるね.この式の y x 0 の範囲で最大になるときを考えればいいんだね.  

(2)  イウ オカキ に当てはまる数を答えよ.

(3) 下線部 に関して,一般に, 2 次関数 y =f( x) x >0 の範囲で最大値をもつのは, y=f (x ) のグラフがどのような特徴をもつときか.そのグラフの特徴を,二つの語句「凸」と「頂点の x 座標」を用いて説明せよ.解答は,解答欄 (う) に記述せよ.

花子: y の値を最大にする x の値が決まれば, n= x2 を使ってそのときの n が求められるね.

太郎:これで,利益の増加額を最大にするアルバイトの人数がわかるね.

(4) 太郎さんと花子さんの考え方によると,利益の増加額を最大にするためには,アルバイトの人数は何人にすればよいか.最も適当なものを,次の 0 9 のうちから一つ選べ.ただし,必要に応じて平方根の表を用いてもよい.

0  アルバイトを雇わない方がよい.

9  アルバイトが多ければ多いほどよい.

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