2018　大学入学共通テスト試行調査数学IIBMathJax

【１】［１］　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，点$\mathrm{A}$$(0,-1)$と，中心が$\mathrm{O}$で半径が$1$の円$C$がある．円$C$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．また，円$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{Q}$を，つねに$\mathrm{\angle POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるようにとる．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$\theta$を用いて表すと

$\mathrm{P}$$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$

$\mathrm{Q}$$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$

である．$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$\sin \theta$
• $\overline{)\text{1}}$　$\cos \theta$
• $\overline{)\text{2}}$　$\tan \theta$
• $\overline{)\text{3}}$　$-\sin \theta$
• $\overline{)\text{4}}$　$-\cos \theta$
• $\overline{)\text{5}}$　$-\tan \theta$

(2)　$\theta$は$0<\theta <\pi$の範囲を動くものとする．このとき線分$\mathrm{AQ}$の長さ$l$は$\theta$の関数である．関数$l$のグラフとして最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{オ}}$

【１】［２］　$3$次関数$f(x)$は，$x=-1$で極小値$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$をとり，$x=3$で極大値をとる．また，曲線$y=f(x)$は点$(0,2)$を通る．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$\boxed{\text{カ}}$次関数であり，$f^{\prime }(x)$は

$(x+\boxed{\text{キ}})(x-\boxed{\text{ク}})$

で割り切れる．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{x}^3+\boxed{\text{シ}}{x}^2+\boxed{\text{ス}}x+\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　方程式$f(x)=0$は，三つの実数解をもち，そのうち負の解は$\boxed{\text{ソ}}$個である．

　また，$f(x)=0$の解を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$$\text{（}a<b<c\text{）}$とし，曲線$y=f(x)$の$a\leqq x\leqq b$の部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S\text{，}$曲線$y=f(x)$の$b\leqq x\leqq c$の部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$T$とする．

　このとき

${\displaystyle {\int }_a^c}f(x)\mathit{dx}=\boxed{\text{タ}}$

である．$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$0$
• $\overline{)\text{1}}$　$S$
• $\overline{)\text{2}}$　$T$
• $\overline{)\text{3}}$　$-S$
• $\overline{)\text{4}}$　$-T$
• $\overline{)\text{5}}$　$S+T$
• $\overline{)\text{6}}$　$S-T$
• $\overline{)\text{7}}$　$-S+T$
• $\overline{)\text{8}}$　$-S-T$

【１】［３］(1)　${\log }_{10}2=0.3010$とする．このとき，${10}^{\boxed{\text{チ}}}=2\text{，}$$2^{\boxed{\text{ツ}}}=10$となる．$\boxed{\text{チ}}\text{，}$$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

(2)　次のようにして対数ものさしAを作る．

(ⅰ)　対数ものさしAにおいて，$3$の目盛りと$4$の目盛りの間隔は，$1$の目盛りと$2$の目盛りの間隔$\boxed{\text{テ}}\text{．}$ $\boxed{\text{テ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　より大きい
• $\overline{)\text{1}}$　に等しい
• $\overline{)\text{2}}$　より小さい

　また，次のようにして対数ものさしBを作る．

(ⅱ)　次の図のように，対数ものさしAの$2$の目盛りと対数ものさしBの$1$の目盛りを合わせた．このとき，対数ものさしBの$b$の目盛りに対応する対数ものさしAの目盛りは$a$になった．

　$a$と$b$の関係について，いつでも成り立つ式を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ト}}$

• $\overline{)\text{0}}$　$a=b+2$
• $\overline{)\text{1}}$　$a=2b$
• $\overline{)\text{2}}$　$a={\log }_{10}(b+2)$
• $\overline{)\text{3}}$　$a={\log }_{10}2b$

　さらに，次のようにしてものさしCを作る．

(ⅲ)　次の図のように対数ものさしAの$1$の目盛りとものさしCの$0$の目盛りを合わせた．このとき，ものさしCの$c$の目盛りに対応する対数ものさしAの目盛りは$d$になった．

　$c$と$d$の関係について，いつでも成り立つ式を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ナ}}$

• $\overline{)\text{0}}$　$d=2c$
• $\overline{)\text{1}}$　$d=c^2$
• $\overline{)\text{2}}$　$d=2^c$
• $\overline{)\text{3}}$　$c={\log }_{10}d$

(ⅰ)　対数ものさしAと対数ものさしBの目盛りを一度だけ合わせるか，対数ものさしAとものさしCの目盛りを一度だけ合わせることにする．このとき，適切な箇所の目盛りを読み取るだけで実行できるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちからすべて選べ．$\boxed{\text{ニ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$17$に$9$を足すこと．

$\overline{)\text{1}}$　$23$から$15$を引くこと．

$\overline{)\text{2}}$　$13$に$4$をかけること．

$\overline{)\text{3}}$　$63$を$9$で割ること．

$\overline{)\text{4}}$　$2$を$4$乗すること．

$\overline{)\text{5}}$　${\log }_{2}64$の値を求めること．

【２】［１］　$100\mathrm{g}$ずつ袋詰めされている食品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がある．$1$袋あたりのエネルギーは食品$\mathrm{A}$が$200\mathrm{kcal}\text{，}$食品$\mathrm{B}$が$300\mathrm{kcal}$であり，$1$袋あたりの脂質の含有量は食品$\mathrm{A}$が$4\mathrm{g}\text{，}$食品$\mathrm{B}$が$2\mathrm{g}$である．

(1)　太郎さんは，食品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を食べるにあたり，エネルギーは$1500\mathrm{kcal}$以下に，脂質は$16\mathrm{g}$以下に抑えたいと考えている．食べる量$\mathrm{(g)}$の合計が最も多くなるのは，食品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$をどのような量の組合せで食べるときかを調べよう．ただし，一方のみを食べる場合も含めて考えるものとする．

(ⅰ)　食品$\mathrm{A}$を$x$袋分，食品$\mathrm{B}$を$y$袋分だけ食べるとする．このとき，$x\text{，}$$y$は次の条件$\text{①}\text{，}$$\text{②}$を満たす必要がある．

　$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまる式を，次の各解答群のうちから一つずつ選べ．

$\boxed{\text{ア}}$の解答群

• $\overline{)\text{0}}$　$200x+300y\leqq 1500$
• $\overline{)\text{1}}$　$200x+300y\geqq 1500$
• $\overline{)\text{2}}$　$300x+200y\leqq 1500$
• $\overline{)\text{3}}$　$300x+200y\geqq 1500$

$\boxed{\text{イ}}$の解答群

• $\overline{)\text{0}}$　$2x+4y\leqq 16$
• $\overline{)\text{1}}$　$2x+4y\geqq 16$
• $\overline{)\text{2}}$　$4x+2y\leqq 16$
• $\overline{)\text{3}}$　$4x+2y\geqq 16$

(ⅱ)　$x\text{，}$$y$の値と条件$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の関係について正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから二つ選べ．ただし，解答の順序は問わない．$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$(x,y)=(0,5)$は条件$\text{①}$を満たさないが，条件$\text{②}$は満たす．

$\overline{)\text{1}}$　$(x,y)=(5,0)$)は条件$\text{①}$を満たすが，条件$\text{②}$は満たさない．

$\overline{)\text{2}}$　$(x,y)=(4,1)$は条件$\text{①}$も条件$\text{②}$も満たさない．

$\overline{)\text{3}}$　$(x,y)=(3,2)$は条件$\text{①}$と条件$\text{②}$をともに満たす．

(ⅲ)　条件$\text{①}\text{，}$$\text{②}$をともに満たす$(x,y)$について，食品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を食べる量の合計の最大値を二つの場合で考えてみよう．

　食品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$1$袋を小分けにして食べられるような食品のとき，すなわち$x\text{，}$$y$のとり得る値が実数の場合，食べる量の合計の最大値は$\boxed{\text{オカキ}}\mathrm{g}$である．このときの$(x,y)$の組は，$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}})$である．

　次に，食品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$1$袋を小分けにして食べられないような食品のとき，すなわち$x\text{，}$$y$のとり得る値が整数の場合，食べる量の合計の最大値は$\boxed{\text{シスセ}}\mathrm{g}$である．このときの$(x,y)$の組は$\boxed{\text{ソ}}$通りある．

(2)　花子さんは，食品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を合計$600\mathrm{}\mathrm{g}$以上食べて，エネルギーは$1500\mathrm{kcal}$以下にしたい．脂質を最も少なくできるのは，食品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$1$袋を小分けにして食べられない食品の場合，$\mathrm{A}$を$\boxed{\text{タ}}$袋，$\mathrm{B}$を$\boxed{\text{チ}}$袋食べるときで，そのときの脂質は$\boxed{\text{ツテ}}\mathrm{g}$である．

【２】［２］

(1)　座標平面上に点$\mathrm{A}$をとる．点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を考える．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}$の座標が$(0,2)$のとき，点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式として正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ト}}$

(ⅱ)　$p$を実数とする．点$\mathrm{A}$の座標が$(p,-2)$のとき，点$\mathrm{M}$の軌跡は(ⅰ)の軌跡を$x$軸方向に$\boxed{\text{ナ}}$だけ平行移動したものである．$\boxed{\text{ナ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(ⅲ)　$p\text{，}$$q$を実数とする．点$\mathrm{A}$の座標が$(p,q)$のとき，点$\mathrm{M}$の軌跡と放物線$y=x^2$との共有点について正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちからすべて選べ．$\boxed{\text{ニ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$q=0$のとき，共有点はつねに$2$個である．

$\overline{)\text{1}}$　$q=0$のとき，共有点が$1$個になるのは$p=0$のときだけである．

$\overline{)\text{2}}$　$q=0$のとき，共有点は$0$個，$1$個，$2$個のいずれの場合もある．

$\overline{)\text{3}}$　$q<p^2$のとき，共有点はつねに$0$個である．

$\overline{)\text{4}}$　$q=p^2$のとき，共有点はつねに$1$個である．

$\overline{)\text{5}}$　$q>p^2$のとき，共有点はつねに$0$個である．

(2)　ある円$C$上を動く点$\mathrm{Q}$がある．下の図は定点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_1$$(-9,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_2$$(-5,-5)\text{，}$${\mathrm{A}}_3$$(5,-5)\text{，}$${\mathrm{A}}_4$$(9,0)$に対して，線分$\mathrm{OQ}\text{，}$${\mathrm{A}}_1\mathrm{Q}\text{，}$${\mathrm{A}}_2\mathrm{Q}\text{，}$${\mathrm{A}}_3\mathrm{Q}\text{，}$${\mathrm{A}}_4\mathrm{Q}$のそれぞれの中点の軌跡である．このとき，円$C$の方程式として最も適当なものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ヌ}}$

• $\overline{)\text{0}}$　$x^2+y^2=1$
• $\overline{)\text{1}}$　$x^2+y^2=2$
• $\overline{)\text{2}}$　$x^2+y^2=4$
• $\overline{)\text{3}}$　$x^2+y^2=16$
• $\overline{)\text{4}}$　$x^2+{(y+1)}^2=1$
• $\overline{)\text{5}}$　$x^2+{(y+1)}^2=2$
• $\overline{)\text{6}}$　$x^2+{(y+1)}^2=4$
• $\overline{)\text{7}}$　$x^2+{(y+1)}^2=16$

【３】　昨年度実施されたある調査によれば，全国の大学生の$1$日あたりの読書時間の平均値は$24$分で，全く読書をしない大学生の比率は$50\mathrm{\%}$とのことであった．大規模$\mathrm{P}$大学の学長は，$\mathrm{P}$大学生の$1$日あたりの読書時間が$30$分以上であって欲しいと考えていたので，この調査結果に$\stackrel{\text{がく}}{\text{愕}}$然とした．そこで今年度，$\mathrm{P}$大学生から$400$人を標本として無作為抽出し，読書時間の実態を調査することにした．次の問いに答えよ．ただし，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　$\mathrm{P}$大学生のうち全く読書をしない学生の母比率が，昨年度の全国調査の結果と同じ$50\mathrm{\%}$であると仮定する．

　標本$400$人のうち全く読書をしない学生の人数の平均（期待値）は$\boxed{\text{アイウ}}$人である．

　また，標本の大きさ$400$は十分に大きいので，標本のうち全く読書をしない学生の比率の分布は，平均（期待値）$0.⁤\boxed{\text{エ}}\text{，}$標準偏差$0.⁤\boxed{\text{オカキ}}$の正規分布で近似できる．

(2)　$\mathrm{P}$大学生の読書時間は，母平均が昨年度の全国調査結果と同じ$24$分であると仮定し，母標準偏差を$\sigma$分とおく．

(ⅰ)　標本の大きさ$400$は十分に大きいので，読書時間の標本平均の分布は，平均（期待値）$\boxed{\text{クケ}}$分，標準偏差${\displaystyle \frac{\sigma }{\boxed{\text{コサ}}}}$分の正規分布で近似できる．

(ⅱ)　$\sigma =40$とする．読書時間の標本平均が$30$分以上となる確率は$0.\boxed{\text{シスセソ}}$である．

　また，$\boxed{\text{タ}}$となる確率は，およそ$0.1587$である．$\boxed{\text{タ}}$に当てはまる最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　大きさ$400$の標本とは別に無作為抽出する一人の学生の読書時間が$26$分以上

$\overline{)\text{1}}$　大きさ$400$の標本とは別に無作為抽出する一人の学生の読書時間が$64$分以下

$\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{P}$大学の全学生の読書時間の平均が$26$分以上

$\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{P}$大学の全学生の読書時間の平均が$64$分以下

$\overline{)\text{4}}$　標本$400$人の読書時間の平均が$26$分以上

$\overline{)\text{5}}$　標本$400$人の読書時間の平均が$64$分以下

(3)　$\mathrm{P}$大学生の読書時間の母標準偏差を$\sigma$とし，標本平均を$\bar{X}$とする．$\mathrm{P}$大学生の読書時間の母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$A\leqq m\leqq B$とするとき，標本の大きさ$400$は十分に大きいので，$A$は$\bar{X}$と$\sigma$を用いて$\boxed{\text{チ}}$と表すことができる．

(ⅰ)　$\boxed{\text{チ}}$に当てはまる式を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\bar{X}-0.95\times {\displaystyle \frac{\sigma }{20}}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\bar{X}-0.95\times {\displaystyle \frac{\sigma }{400}}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\bar{X}-1.64\times {\displaystyle \frac{\sigma }{20}}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\bar{X}-1.64\times {\displaystyle \frac{\sigma }{400}}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\bar{X}-1.96\times {\displaystyle \frac{\sigma }{20}}$
• $\overline{)\text{5}}$　$\bar{X}-1.96\times {\displaystyle \frac{\sigma }{400}}$
• $\overline{)\text{6}}$　$\bar{X}-2.58\times {\displaystyle \frac{\sigma }{20}}$
• $\overline{)\text{7}}$　$\bar{X}-2.58\times {\displaystyle \frac{\sigma }{400}}$

(ⅱ)　母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間$A\leqq m\leqq B$の意味として，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ツ}}$

$\overline{)\text{0}}$　標本$400$人のうち約$95\mathrm{\%}$の学生は，読書時間が$A$分以上$B$分以下である．

$\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{P}$大学生全体のうち約$95\mathrm{\%}$の学生は，読書時間が$A$分以上$B$分以下である．

$\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{P}$大学生全体から$95\mathrm{\%}$程度の学生を無作為抽出すれば，読書時間の標本平均は，$A$分以上$B$分以下となる．

$\overline{)\text{3}}$　大きさ$400$の標本を$100$回無作為抽出すれば，そのうち$95$回程度は標本平均が$m$となる．

$\overline{)\text{4}}$　大きさ$400$の標本を$100$回無作為抽出すれば，そのうち$95$回程度は信頼区間が$m$を含んでいる．

$\overline{)\text{5}}$　大きさ$400$の標本を$100$回無作為抽出すれば，そのうち$95$回程度は信頼区間が$\bar{X}$を含んでいる．

【４】　太郎さんと花子さんは，数列の漸化式に関する問題A，問題Bについて話している．二人の会話を読んで，下の問いに答えよ．

(1)

(ⅰ)　$k$の値を求めよ．

$k=\boxed{\text{ア}}$

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_n=\boxed{\text{イ}}\cdot {\boxed{\text{ウ}}}^{n-1}+\boxed{\text{エ}}$

(2)

数列$\{b_n\}$の階差数列$\{p_n\}$を，$p_n=b_{n+1}-b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{)}$と定める．

(ⅰ)　$p_1$の値を求めよ．

$p_1=\boxed{\text{オ}}$

(ⅱ)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

$p_{n+1}=\boxed{\text{カ}}{p}_n-\boxed{\text{キ}}$

(ⅲ)　数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

$p_n=\boxed{\text{ク}}\cdot {\boxed{\text{ケ}}}^{n-1}+\boxed{\text{コ}}$

(3)　二人は問題Bについて引き続き会話をしている．

(ⅰ)　$q_n=\boxed{\text{シ}}$とおくと，太郎さんの変形により数列$\{q_n\}$が公比$3$の等比数列とわかる．このとき，$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}$に当てはまる式を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

$\overline{)\text{0}}$　$b_n+sn+t$

$\overline{)\text{1}}$　$b_{n+1}+sn+t$

$\overline{)\text{2}}$　$b_n+s(n+1)+t$

$\overline{)\text{3}}$　$b_{n+1}+s(n+1)+t$

(ⅱ)　$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

$s=\boxed{\text{スセ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{ソ}}$

(4)　問題Bの数列は，(2)の方法でも(3)の方法でも一般項を求めることができ る．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

$b_n={\boxed{\text{タ}}}^{n-1}+\boxed{\text{チ}}n-\boxed{\text{ツ}}$

(5)　次のように定められた数列$\{c_n\}$がある．

$c_1=16\text{．}$$c_{n+1}=3c_n-4n^2-4n-10$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

$c_n=\boxed{\text{テ}}\cdot {\boxed{\text{ト}}}^{n-1}+\boxed{\text{ナ}}{n}^2$$+\boxed{\text{ニ}}n+\boxed{\text{ヌ}}$

【５】

(1)　右の図のような立体を考える．ただし，六つの面$\mathrm{OAC}\text{，}$$\mathrm{OBC}\text{，}$$\mathrm{OAD}\text{，}$$\mathrm{OBD}\text{，}$$\mathrm{ABC}\text{，}$$\mathrm{ABD}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形である．この立体の$\mathrm{\angle COD}$の大きさを調べたい．

　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{N}$とおく．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　次の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{エ}}$に当てはまる数を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}$$=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{M}$は同一直線上にある．内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}$の値を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=k\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を満たす$k$の値を求めよ．

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

(ⅲ)　$\mathrm{\angle COD}=\theta$とおき，$\cos \theta$の値を求めたい．次の方針1または方針2について，$\boxed{\text{キ}}\text{〜}$$\boxed{\text{シ}}$に当てはまる数を求めよ．

(ⅳ)　方針1または方針2を用いて$\cos \theta$の値を求めよ．

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

(2)　(1)の図形から，四つの面$\mathrm{OAC}\text{，}$$\mathrm{OBC}\text{，}$$\mathrm{OAD}\text{，}$$\mathrm{OBD}$だけを使って，右のような図形を作成したところ，この図形は$\mathrm{\angle AOB}$を変化させると，それにともなって$\mathrm{\angle COD}$も変化することがわかった．

　$\mathrm{\angle AOB}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle COD}=\beta$とおき，$\alpha >0\text{，}$$\beta >0$とする．このときも，線分$\mathrm{AB}$の中点と線分$\mathrm{CD}$の中点および点$\mathrm{O}$は一直線上にある．

(ⅰ)　$\alpha$と$\beta$が満たす関係式は(1)の方針2を用いると求めることができる．その関係式として正しいものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{タ}}$

$\overline{)\text{0}}$　$\cos \alpha +\cos \beta =1$

$\overline{)\text{1}}$　$(1+\cos \alpha )(1+\cos \beta )=1$

$\overline{)\text{2}}$　$(1+\cos \alpha )(1+\cos \beta )=-1$

$\overline{)\text{3}}$　$(1+2\cos \alpha )(1+2\cos \beta )={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$\overline{)\text{4}}$　$(1-\cos \alpha )(1-\cos \beta )={\displaystyle \frac{2}{3}}$

(ⅱ)　$\alpha =\beta$のとき，$\alpha =\boxed{\text{チツ}}\mathrm{°}$であり，このとき，点$\mathrm{D}$は$\boxed{\text{テ}}$にある．$\boxed{\text{チツ}}$に当てはまる数を求めよ．また，$\boxed{\text{テ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　平面$\mathrm{ABC}$に関して$\mathrm{O}$と同じ側

$\overline{)\text{1}}$　平面$\mathrm{ABC}$上

$\overline{)\text{2}}$　平面$\mathrm{ABC}$に関して$\mathrm{O}$と異なる側