2018 旭川医科大学 前期

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2018 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 ある臓器にできる 腫瘍しゅよう X は悪性と良性の 2 つの型に分けられ,同時に両方の型であることはない.実際に X がある人とない人の割合は 3 % 97 % であり, X がある人のうち,悪性の人と良性の人の割合は 1 :2 である.そして,腫瘍 X があるかないかを調べる検査 Y について,次の事が知られている.

(ⅰ) 悪性の X がある人に Y が用いられると, 95 % の確率で X があると判定される.

(ⅱ) 良性の X がある人に Y が用いられると, 80 % の確率で X があると判定される.

(ⅲ)  X がない人に Y が用いられると, 90 % の確率で X がないと正しく判定される.

ある人が,この検査 Y を受けることになった.このとき,次の確率を求めよ.

問1 この人に X があると判定される確率

問2  X があると判定されたとき,悪性の X が実際にある確率

問3 悪性の X が実際にないとき, X がないと判定される確率

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医学部(医学科)

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【2】  n を正の整数とし, 0x π の範囲で f (x )=sin x g (x )=sin xsin 2n x とおく.このとき,次の各問いに答えよ.

問1 曲線 y =g( x) x 軸が囲む部分の面積を求めよ.

問2 曲線 y =f( x) と曲線 y =g( x) の共有点のうち,共通の接線をもつすべての点の座標を求めよ.

問3 問2で求めたすべての接点の y 座標の値の平均を A n とおくとき, limn An を求めよ.

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医学部(医学科)

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【3】  a は実数で a >1 とし,曲線 y =logx 上に 2 A ( a,log a) B ( 1a ,log 1a ) をとる.直線 AB と曲線 y =logx で囲まれた部分の面積を S とし,直線 AB x 軸,直線 x = 1a および直線 x =a で囲まれた部分の面積を T とする.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  S T a を用いて表せ.

問2 次の極限値を求めよ.ただし,(3)において必要であれば

x>0 のとき, log( 1+x) <x- x2 2+ x 33

が成り立つことを証明なしで用いてよい.

(1)  lima S T (2)  lima 1+ 0 T( a-1) 2
(3)  lima 1+ 0 S( a-1) 2 (4)  lima 1+ 0 ST

問3  a>1 の範囲で, S T は単調に増加することを示せ.

問4  S=T となる a e32 <a <e2 の範囲に ただ 1 つあることを示せ.ただし, e は自然対数の底で e =2.7182 である.

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【4】  ABC において, AB=2 BC=3 CA= 7 とする. AB に関して C と反対側に点 S ASB が正三角形となるようにとる.また, BC に関して A と反対側に点 T BTC が正三角形となるようにとる.さらに ASB の外接円と BTC の外接円との交点のうち, B と異なる点を P とする.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  ABC の大きさを求めよ.

問2  PAB PBC であることを示し, AP BP CP の長さをそれぞれ求めよ.

問3  AP AB AC を用いて表せ.

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