2018 京都府立医科大学 前期

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2018 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  a b は実数とする. xy 平面上で不等式 y ex をみたす点 ( x,y ) の集合を D とし,直線 y =ax +b L とする.

(1)  L D に含まれるための a b の条件を求め,その条件をみたす点 ( a,b ) の集合 E a b 平面上に図示せよ.

(2)  t は正の実数とし, ab 平面上で連立不等式 a t b 0 をみたす点 ( a,b ) の集合を F t とする.(1)の E F t の共通部分の面積を S (t ) とするとき, limt +0 S( t) を求めよ.

 必要なら limx +0x logx =0 であることは用いてよい.

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易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の原点 ( 0,0 ) に駒をおき,以下の操作を繰り返し,駒を x y 平面上で移動させる.

操作:サイコロを投げ,出た目を k 1 k6 とする.

(ⅰ)  k が奇数のとき, x 軸方向に k だけ移動させる.

(ⅱ)  k が偶数のとき, y 軸方向に k2 だけ移動させる.

 例えば駒が ( 1,1 ) にあるとき, 3 の目が出れば ( 4,1 ) に, 4 の目が出れば ( 1,3 ) に移動させる.

 以下の問いに答えよ.ただし実数 x について, [x ] x を超えない最大の整数を表す.

(1)  p q 0 以上の整数とする.点 ( p,q ) に到達させるために必要なサイコロを投げる最小の回数を N (p ,q) とおく.

[ p5] N( p,0) [ p5] +2 [ q3 ]N (0, q) [ q3] +1

であることを証明せよ.

(2)  a b 0 以上の整数とする.ただし, a b の少なくとも一方は 0 でないとする.極限値 limn N( an, bn) (a +b) n を求めよ.

(3) (2)の極限値を R (a ,b) とおく. R( a,b ) の最大値と最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 四面体 ABCD AC = 32 AD=1 BC= 12 であり,辺 AD は面 ABC に垂直であり,辺 BC は面 ACD に垂直であるとする.

(1) 辺 BD の長さを求めよ.

(2) 点 C から辺 AB に下ろした垂線の長さを求めよ.

 次に四面体 ABCD から十分に離れたところに直線 AB と平行な平面 α を一つとる. α に垂直な平行光線を四面体 ABCD にあてて, α 上に影をつくる.その影の面積を S とする.

(3) 面 ABD α に平行であるときの S を求めよ.

(4) 直線 AB を軸として四面体 ABCD 1 回転させるとき, S の最大値,最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  n 2 以上の偶数とする. n 個の式 x -k k=0 1 2 n-1 の積を fn (x ) とする.すなわち

fn (x )=x (x -1) (x -2) (x -n+1 )

である.

(1) 関数 y =fn (x ) のグラフは y 軸に平行なある直線に関して対称であることを証明せよ.

(2)  x の方程式 fn (x) =n! はちょうど 2 つの実数解をもつことを証明し,その実数解を求めよ.

(3) (2)の実数解を α β α<β とするとき

limn 1 (n +1) ! αβ |f n( x) | dx

を求めよ.

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