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2019 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
2019 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
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【2】 を実数とし,関数はで極値をとるとする.また,座標平面上の曲線を放物線を放物線上の点をとする.ただし,である.
(1) 関数がで極値をとるので,である.これとにより,である.よって,はで極小値をとる.
(2) 点における放物線の接線をとする.とおよび軸で囲まれた図形の面積をとを用いて表わそう.
の方程式は
と表せる.と軸の交点の座標はであり,と軸および直線で囲まれた図形の面積はである.よって,である.
(3) さらに,点が曲線上にあり,かつ(2)の接線がにも接するとする.このときの(2)のの値を求めよう.
が上にあるので,である.
との接点の座標をとすると,の方程式はを用いて
と表される.の右辺をとおくと
と因数分解されるので,となる.との表す直線の傾きを比較することにより,である.
したがって,求めるの値はである.
【4】 次の整式を考える.のの係数はであり,その他の項の係数は実数であるとする.また,次方程式は実数解をもち,それ以外の実数解をもたないとする.
因数定理により,はとで割り切れるから
と表せる.以下,とする.
(1) 次方程式は,実数解の他に,異なる二つの虚数解をもつとする.このとき,は次方程式の解であるから,解と係数の関係により,である.また,の判別式をとすると,であり,となる.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
(2) 次方程式は虚数解をもたないとする.このとき,はのみを解にもつので,について,次の三つの場合が考えられる.
で,の値は
で,の値は
で,の値は
ただし,については,当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.同じものを繰り返し選んでもよい.
すべての実数で正となる
のときとなり,その他の実数で正となる.
のときとなり,その他の実数で正となる.
とのときとなり,その他の実数で正となる
を満たすで正となり,その他の実数で以下となる.
を満たすで負となり,その他の実数で以上となる.
(3) 整式がすべての実数で以上の値をとるとき,因数とのとる値の正負を考えると
であることがわかる.
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【3】 初項が公比がの等比数列の初項から第項までの和をとする.また,数列は,初項がであり,の階差数列が数列であるような数列とする.
(1) である.
(2) との一般項は,それぞれ
である.ただし,とについては,当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.同じものを選んでもよい.
(3) 数列は,初項がであり,漸化式
を満たすとする.の一般項を求めよう.
そのために,により定められる数列を考える.の初項はである.
は漸化式
を満たすから,は漸化式
を満たすことがわかる.よって,の一般項は
である.ただし,については,当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
したがって,の一般項からの一般項を求めると
である.
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【4】 四角形を底面とする四角を考える.四角形は,辺と辺が平行で,を満たすとする.さらに,として
であるとする.
(1) により,三角形の面積はである.
(2) であるから,である.さらに,辺と辺が平行であるから,である.よって,であり
と表される.また,四角形の面積はである.
(3) 三角形を底面とする三角錐の体積を求めよう.
点の定める平面上に,点をとが成り立つようにとる.は三角錐の高さである.は上の点であるから,実数を用いての形に表される.
により,である.よって,が得られる.したがって,(1)により,であることがわかる.
(4) (3)のを用いると,四角錐の体積はと表せる.さらに,四角形を底面とする四角錐の高さはである.
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【5】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.
(1) ある食品を摂取したときに,血液中の物質の量がどのように変化するか調べたい.食品摂取前と摂取してから時間後に,それぞれ一定量の血液に含まれる物質の量(単位は)を測定し,その変化量,すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数をとする.の期待値(平均)は標準偏差はとする.
このとき,の期待値はである.
また,測定単位を変更してとすると,その期待値は分散はとなる.
(2) (1)のが正規分布に従うとするとき,物質の量が減少しない確率を求めよう.この確率は
であるので,標準正規分布に従う確率変数をとすると,正規分布表から,次のように求められる.
無作為に抽出された人がこの食品を摂取したときに,物質の量が減少するか,減少しないかを考え,物質の量が減少しない人数を表す確率変数をとする.は二項分布に従うので,期待値は標準偏差はとなる.ただし,はで求めた小数第位までの値とする.
(3) (1)の食品摂取前と摂取してから時間後に,それぞれ一定量の血液に含まれる別の物質の量(単位は)を測定し,その変化量,すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数をとする.の母集団分布は母平均母標準偏差をもつとする.を推定するため,母集団から無作為に抽出された人に対して物質の変化量を測定したところ,標本平均の値はであった.
このとき,の期待値は標準偏差はである.の分布が正規分布で近似できるとすれば,は近似的に標準正規分布に従うとみなすことができる.
正規分布表を用いてとなる確率を求めるととなる.このことを利用して,母平均に対する信頼度の信頼区間,すなわち,の確率でを含む信頼区間を求めると,となる.に当てはまる最も適当なものを,次ののうちから一つ選べ.