2019 旭川医科大学 前期

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2019 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  a は定数で a >1 とし,点 ( a,0 ) を通る傾き m の直線と円 x2+ y2= 1 とが異なる 2 A B で交わる.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  m の値の範囲を求めよ.

問2 問1で求めた範囲を m が動くとき,線分 AB の中点の軌跡を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  n を正の整数とし, fn (x )=e -x (1+ x1 + x22 !+ x 33! + + xnn ! ) とおく.このとき,次の各問いに答えよ.

問1 第 2 次までの導関数 fn ( x) fn ( x) を求めよ.

問2  n2 のとき, 1n logx dx<log 2+log 3+ +logn が成り立つことを示せ.

問3  n1 のとき,すべての正の実数 x に対し, - 1e fn ( x)< 0 が成り立つことを示せ.

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【3】  α を,虚部が 0 でない複素数とする.複素数平面上で 3 0 α α 2 を通る円を C とし, C の中心の複素数を β とする.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  β α α を用いて表せ.

問2 点 α 3 C 上にないことを示せ.

問3  α3β の実部が正となるとき, α の満たす条件を求めよ.

問4  0 でないどんな実数 t に対しても点 t α3 C 上にないとき,点 α 全体の集合を複素数平面上に図示せよ.

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【4】  2 つの数列 { pn } { qn } は次の漸化式を満たしている.

{ pn+ 1= 12 p n+ 14 qn - 14 qn+ 1= 12 pn + 34 qn + 14 n= 1 2 3

このとき,次の各問いに答えよ.

問1  pn+ qn= p1+ q1 n= 1 2 3 が成り立つことを示せ.

問2 一般項 p n p1 q1 を用いて表せ.

問3 無限級数 n= 1 pn が収束し,和が 1 となるように, p1 q1 の値を定めよ.

問4 問2,問3で求めた数列 { pn } について,無限級数 n =1 np n の和を求めよ.ただし, |r |<1 のとき, limn nrn =0 であることは,証明なしに用いてよい.

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