2019 浜松医科大学 前期医学部

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2019 浜松医科大学 前期

医学科

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1)  n 3 以上の整数, x を正の実数とする.このとき

(a) 不等式

( 1+x) n>1 +nx + n( n-1) 2 x 2

を証明せよ.

(b) 極限

limn n( 1+x) n

の収束,発散を調べ,収束するときにはその値を求めよ.

(2) 数列 { an }

a1 =1 3a n+1 =an + 12n +1 n=1 2 3

で定義する.

(a)  { an } の一般項を求めよ.

(b) 上で求めた a n に対して,無限級数

n= 1 na n

の収束,発散を調べ,収束するときにはその和を求めよ.

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【2】 以下の問いに答えよ.

(1)  x>0 のとき,不等式 x >sinx を証明せよ.

(2) 不等式

1 6< sin10 ° < π18

を証明せよ.

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【3】 関数 f( x) はすべての実数 a b c に対して

f( a) f( b-c) +f( b) f( c-a) +f( c) f( a-b) =0

を満たすものと仮定する.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) すべての実数 x に対して f( -x) =- f( x) が成立することを証明せよ.

(2)  0 以上のすべての整数 n および,すべての実数 x y に対して

f( y2 ) k= 0n f( x+k y)= f(x + n2 y) f( n+ 12 y )

が成立することを証明せよ.

(3)  f( x) はすべての実数 x で連続かつ x =0 で微分可能で f (0) =1 と仮定する. f( x ) の原始関数の 1 つを F (x ) とすれば,すべての実数 s t に対して

F( t)- F( s) 2=f ( s +t2 ) f( t-s 2)

が成立することを証明せよ.

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【4】  A B を空でない事象とする.このとき,以下の 2 つの条件 p q が同値であることを証明せよ.

p A B は独立である.

q :点 O ( 0,0 ) Q ( P( AB) ,P( AB ) ) R (P ( A B), P( A B ) ) は同一直線上にある.ただし, P( A) は事象 A が起こる確率を表すものとする.

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