2019 京都府立医科大学 前期

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2019 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f( x) f( x)= e x+e -x2 で定める. xy 平面上の曲線 y =f( x) C とする. 0 以上の整数 k に対して, C 上の点 ( k,f( k) ) Pk とおく. n 1 以上の整数とする.

(1) 曲線 C の概形をかけ.

(2) 線分 Pk -1 Pk k1 と曲線 C で囲まれる部分の面積を a k とする. ak k を用いて表せ.

(3) (2)の a k に対して, Sn= k=1 na k とおく. Sn n を用いて表せ.

(4) 点 P0 から点 Pn までの曲線 C の長さを l n とする.(3)の S n に対して, Snl n の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  a は正の実数とする.平面上に ▵OAB があり,辺 OA の長さは a OB の長さは 1 OA OB の内積は 12 であるとする.さらに,点 A を通り,直線 OB O で接し,辺 AB と交わる円 C があるとする.辺 AB と円 C の交点を D とする.ただし, D A B と異なる点とする. ▵OAD の内接円 C 1 の半径を r 1 とし, ▵OBD の内接円 C 2 の半径を r 2 とする.

(1)  a のとり得る値の範囲を求めよ.

(2) 線分 OD の長さを求めよ.

(3)  r1 および r 2 a を用いて表せ.

(4)  r1 r2 が最大となるとき, a の値を求め,円 C 1 と円 C 2 は接することを証明せよ.

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【3】 複素数平面における円 C |x |=1 を考える.複素数 z に対して, z z に共役な複素数を表す.

(1) 円 C 上の点 α における接線を l とする.このとき l 上の点 z は等式

z+α 2z =2 α

を満たすことを証明せよ.

 次に n 3 以上の整数とし,円 C 上に n 個の点 α 1 α2 αn をとる.ただし, αk 2 αk +12 1k n-1 かつ αn2 α 12 とする.点 α k における円 C の接線を l k 1k n とする. lk l k+1 の交点を z k 1k n-1 とし, ln l 1 の交点を z n とする.

(2) このとき

k=1 n 1n= k=1n α k

であることを証明せよ.

(3)  α=cos π 2n +isin π 2n とする.ここで i は虚数単位を表す.

αk =cos kn 2π +i sin kπ 2n 1k n

としたときの zk について

(α -1) k=1 n 1z k

の値を求めよ.

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【4】  n 2 以上の整数とし,正 2 n 角形 K n を考える. Kn 2 n 個の頂点から異なる 3 個の頂点を無作為に選び,それらを頂点とする三角形 T をつくる. T が直角三角形になる確率を p n とし, T が鋭角三角形になる確率を q n とする.

(1)  p3 q 3 を求めよ.

(2)  pn n を用いて表せ.

(3)  qn n を用いて表せ.

(4)  limn qn を求めよ.

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