2019 山陽小野田市立山口東京理科大学 前期

Mathematics

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2019 山口東京理科大学 前期

工学部

(1)〜(2)で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(2)までの文章中の   内のカタカナに当てはまる 0 から 9 までの整数を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,     2 桁の整数を表し,分数は既約分数で表すものとする.

(1)  a は正の実数とする.次の関数について答えなさい.

y=e-2 x( 3sina x+4cos ax)

(a) 関数 y の第 2 次導関数は次の式を満たす.

d2 ydx 2=e -2x {( + a- a2 )sin ax +( - a- a2 )cos ax}

(b) 関数 y が次の式を満たす.

d2 ydx2 +4 dy dx+8 y=0

このとき, a= である.

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工学部

(1)〜(2)で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(2)までの文章中の   内のカタカナに当てはまる 0 から 9 までの整数を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,     2 桁の整数を表し,分数は既約分数で表すものとする.

(2)  x0 とする.関数

y=27 x3+72 x2+60 x+163

を微分すると,

dy dx= x+ ( x + ) ( x+ )2 3

である.

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工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  3 辺の長さが異なる三角形 ABC の内部に点 P が存在する.直線 AP と辺 BC との交点を D とする.次の各問いに答えなさい.解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい.

(1) 点 P を頂点とする 3 つの三角形の面積比を

▵PAB:▵PBC: ▵PCA=l:m: n

とする.

(a)  BD:DC l n を用いて表しなさい.

(b)  AP:PD l m n を用いて表しなさい.

(2) (1)で, l:m:n= 1:1:1 であるとき,点 P は三角形の   心と呼ばれる.このとき,   に当てはまる適切な用語を答えなさい.

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工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  a b c d e は実数とする.放物線 y=3 x2+a x+4 と直線 y=b x+5 が相異なる 2 点で交わっている.次の各問いに答えなさい.解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい.

(1)  2 つの交点の x 座標をそれぞれ c d とし,さらに放物線と直線で囲まれた部分の面積を S1 とする.このとき, S1 c d を用いて表しなさい.ただし, c<d とする.

(2)  2 つの交点の x 座標をそれぞれ -e e とし,さらに放物線と直線で囲まれた部分の面積を S2 とする.ただし, e>0 とする.

(a)  a b を用いて表しなさい.

(b)  S2 を求めなさい.

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配点50点

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【4】  t は任意の実数とする.このとき,複素数

z=1 2 {1-t+ i(1+ t)}

の複素平面上での軌跡を考える.ここで, i は虚数単位である.次の各問いに答えなさい.解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい.

(1) 複素数 z の軌跡が,複素平面上で直線となることを示しなさい.さらに, z=x+i y x y は実数)とおき, x y の関係式を y=a x+b と表したとき, a b の値をそれぞれ求めなさい.

(2) 実数 t に対して, t=tanθ (- π2<θ <π2 ) とおく.このとき,複素数 z の逆数 1 z の実部と虚部をそれぞれ sin2 θ cos2θ を用いて表しなさい.

(3) 複素数 1 z の軌跡が,複素数平面上で円となることを示しなさい.さらに,この円の中心を表す複素数と半径をそれぞれ求めなさい.

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