2019 山陽小野田市立山口東京理科大学 中期工学部

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2019 山口東京理科大学 中期

工学部

(1)〜(3)で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(2)までの文章中の   内のカタカナに当てはまる 0 から 9 までの整数を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,     2 けたの整数を表し,分数は既約分数で表すものとする.

(1) 次の三角関数の値をそれぞれ求めなさい.

(a)  cosπ 6=

(b)  cosπ 12= + (ただし, >

(c)  tanπ 12= -

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工学部

(1)〜(3)で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(2)までの文章中の   内のカタカナに当てはまる 0 から 9 までの整数を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,     2 けたの整数を表し,分数は既約分数で表すものとする.

(2) 次の方程式

sin3θ =cos2 θ

を満たす θ について各問いに答えなさい.

(a) 範囲 0<θ <2π において,方程式の解は 個あり,

θ= + n π n=0 1

と表される.

(b)  θ1 は方程式を満たす正の最小解とする.このとき,次の式が成り立つ.

sinθ1 =- +

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配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 a c 0<c <a を満たすとする.次の各問いに答えなさい.解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい.

(1)  xy 平面上において,楕円 1

( x+c) 2a2 +y2 a2- c2= 1

上の点 P (x,y ) をとり,原点 O との距離を r1 とする.また,直線 OP x 軸正方向とのなす角を θ1 とするとき, r1 θ1 の関数として表しなさい.

(2)  xy 平面上において,楕円 2

x2 a2+ y2 a2-c 2=1

上の点 Q (x,y ) をとり,原点 O との距離を r2 とする.また,直線 OQ x 軸正方向とのなす角を θ2 とするとき, r2 θ2 の関数として表しなさい.

(3) 楕円 1 と楕円 2 の交点のうち,正の y 座標をもつ交点を R とする.このとき,距離 OR を求めなさい.

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配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  n 2 以上の整数とする. 1 n までの整数の集合を N とする.次の各問いに答えなさい.解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい.

(1)  N に属するすべての数の和の 2 乗を T とする. T n で表し,かつ因数分解しなさい.

(2)  N に属する異なる 2 つの数のすべての積の和を S とする. S n で表し,かつ因数分解しなさい.

(3)  S 8500 であるとき, n を求めなさい.

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配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 媒介変数で表された曲線に関する次の各問いに答えなさい.解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい.

(1) 媒介変数 t 0 tπ によって {x=t y=sin t と表される曲線 C1 について,

(a)  dy dx t で表しなさい.

(b) 曲線 C1 x 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V1 を求めなさい.

(2) 媒介変数 t 0 tπ によって { x=cos t y=sint と表される曲線 C2 について,

(a)  dydx t で表しなさい.

(b) 曲線 C2 x 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V2 を求めなさい.

(3) 媒介変数 t 0 12π によって { x=cos3 t y=sin3 t と表されるアステロイド C3 について,

(a)  dy dx t で表しなさい.

(b) アステロイド C3 で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V3 を求めなさい.

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