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2019 防衛医科大学校 医学科記述式

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問に答えよ.

(1) 整式 x 4-1 3 次の整式 f (x ) で割ると商が g (x ) 余りが 13 x2-37 となった.また,整式 x2 -x g (x ) で割ると,商が h (x ) 余りが 2 となった.このとき,方程式 f (x) =0 3 つの解を求めよ.

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【1】 以下の問に答えよ.

(2) 半径が同じである 2 つの円が点 A (3 ,0) B (1, -2) を共有し, 2 円の中心間の距離が 6 2 であるとき, 2 円の中心の座標はそれぞれいくらか.

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【1】 以下の問に答えよ.

(3)  3 次関数 f (x) =x3+ ax2 +bx+ c が,ある t に対し, f (t) =f (t+ 5)=2 を満たすとき, tt+ 5f (x) dx はいくらか.ここで, a b c t は実数である.

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【1】 以下の問に答えよ.

(4)  ▵ABC において辺 BC 上に BD = 23 BC となる点 D と, ▵ABD 内に AP = 14 AB+ 13 AD となる点 P をとる.このとき, ▵APC の面積は ▵ABP の面積の何倍であるか.

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【2】  1 から 3 n までの自然数がそれぞれ 1 つずつ書かれた 3 n 枚のカードがある n 2 以上の自然数).この 3 n 枚のカードを 3 つのグループ A B C にそれぞれ n 枚ずつ分けて,各グループ内でカードを数字の小さい順に並べるものとする.グループ A に入る n 枚のカードに書かれた数字を小さい順に, X1 X2 Xn グループ B に入る n 枚のカードに書かれた数字を小さい順に, Y1 Y2 Yn グループ C に入る n 枚のカードに書かれた数字を小さい順に, Z1 Z2 Zn とする.このとき,以下の問に答えよ.

(1) このようなカードの並べ方は何通りあるか.

(2)  n=4 とし, Xi+ 2=Yi +1= Zi となる i i=1 2 3 4 がちょうど 3 個あるようなカードの並べ方は何通りあるか.

(3)  Xi+ 2=Yi +1= Zi となる i i=1 2 n がちょうど n- 2 個あるようなカードの並べ方は何通りあるか.

(4) 数字の j が書かれたカードがグループ A に,数字の j+ 1 が書かれたカードがグループ B に含まれるような j j=1 2 3n- 1 がちょうど n- 1 個あるようなカードの並べ方は何通りあるか.

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【3】 関数 f (x) =log( x2+3 +x ) について,関数 f (x ) の逆関数を g (x ) 座標平面において曲線 y= f(x ) の点 ( g( 1),f (g (1) ) における接線を y= h(x ) とする.このとき,以下の問に答えよ.

(1) 関数 g (x ) を求めよ.

(2) 関数 h (x ) を求めよ.

(3)  -1x g( 1) において, h( x)f (x ) を示せ.

(4)  y0 の領域において,曲線 y =f( x) 直線 y =h( x) x 軸で囲まれる部分の面積はいくらか.

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