2020　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$a$を定数とする．

(1)　直線$l\text{：}y=(a^2-2a-8)x+a$の傾きが負となるのは，$a$の値の範囲が

$\boxed{\text{アイ}}<a<\boxed{\text{ウ}}$

のときである．

(2)　$a^2-2a-8\ne 0$とし，(1)の直線$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$b$とする．

$a>0$の場合，$b>0$となるのは$\boxed{\text{エ}}<a<\boxed{\text{オ}}$のときである．

$a\leqq 0$の場合，$b>0$となるのは$a<\boxed{\text{カキ}}$のときである．

　また，$a=\sqrt{3}$のとき

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$

である．

(3)　$f(x)=(a^2-2a-8)x+a$とおく．$a<0$かつ$|f(1)+f(-1)|=1$を満たす$a$の値は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．また，このとき$-2\leqq x\leqq 2$における$f(x)$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{タチツ}}\leqq f(x)\leqq \boxed{\text{テト}}$

である．

【１】

［２］　自然数$n$に関する三つの条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を次のように定める．

$p$：$n$は$4$の倍数である

$q$：$n$は$6$の倍数である

$r$：$n$は$24$の倍数である

　条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の否定をそれぞれ$\bar{p}\text{，}$$\bar{q}\text{，}$$\bar{r}$で表す．

　条件$p$を満たす自然数全体の集合を$P$とし，条件$q$を満たす自然数全体の集合を$Q$とし，条件$r$を満たす自然数全体の集合を$R$とする．自然数全体の集合を全体集合とし，集合$P\text{，}$$Q\text{，}$$R$の補集合をそれぞれ$\bar{P}\text{，}$$\bar{Q}\text{，}$$\bar{R}$で表す．

(1)　次の$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$32\in \boxed{\text{ナ}}$である．また，$50\in \boxed{\text{ニ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$P\cap Q\cap R$
• $\overline{)\text{1}}$　$P\cap Q\cap \bar{R}$
• $\overline{)\text{2}}$　$P\cap \bar{Q}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\bar{P}\cap Q$
• $\overline{)\text{4}}$　$\bar{P}\cap \bar{Q}\cap R$
• $\overline{)\text{5}}$　$\bar{P}\cap \bar{Q}\cap \bar{R}$

(2)　次の$\boxed{\text{ノ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

　$P\cap Q$に属する自然数のうち最小のものは$\boxed{\text{ヌネ}}$である．また，$\boxed{\text{ヌネ}}\boxed{\text{ノ}}R$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$=$
• $\overline{)\text{1}}$　$\subset$
• $\overline{)\text{2}}$　$\supset$
• $\overline{)\text{3}}$　$\in$
• $\overline{)\text{4}}$　$\notin$

(3)　次の$\boxed{\text{ハ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　自然数$\boxed{\text{ヌネ}}$は，命題$\boxed{\text{ハ}}$の反例である．

• $\overline{)\text{0}}$　「$(p\text{かつ}q)⟹\bar{r}$」
• $\overline{)\text{1}}$　「($p\text{または}q)⟹\bar{r}$」
• $\overline{)\text{2}}$　「$r⟹(p\text{かつ}q)$」
• $\overline{)\text{3}}$　「$(p\text{かつ}q)⟹r$」

【２】

［１］(1)　$a\text{，}$$b$を定数とし，$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフを$F$とする．次の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　$F$について述べた文として正しいものは，$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　$F$は上に凸の放物線である．

$\overline{)\text{1}}$　$F$は，下に凸の放物線である．

$\overline{)\text{2}}$　$a^2>4b$のとき，$F$と$x$軸は共有点をもたない．

$\overline{)\text{3}}$　$a^2<4b$のとき，$F$と$x$軸は共有点をもたない．

$\overline{)\text{4}}$　$a^2>4b$のとき，$F$と$y$軸は共有点をもたない．

$\overline{)\text{5}}$　$a^2<4b$のとき，$F$と$y$軸は共有点をもたない．

(2)　次の$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　$2$次関数$y=x^2+2x-1$の，$-3\leqq x\leqq 2$における最小値と最大値の組合せとして正しいものは$\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】

［２］　$c$を定数とする．$2$次関数$y=x^2$のグラフを，$2$点$(c,0)\text{，}$$(c+4,0)$を通るように平行移動して得られるグラフを$G$とする．

(1)　$G$をグラフにもつ$2$次関数は，$c$を用いて

$y=x^2-2(c+\boxed{\text{エ}})x+(c+\boxed{\text{オ}})$

と表せる．$G$が点$(3,k)$を通るとき，$k$は$c$を用いて

$k={(c-\boxed{\text{カ}})}^2-\boxed{\text{キ}}$

と表せる．したがって，$c$が実数全体を動くとき，$k$のとり得る値の最小値は$\boxed{\text{クケ}}$である．また，$-3\leqq k\leqq 0$であるような$c$の値の範囲は

$-\boxed{\text{コ}}\leqq c\leqq \boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}\leqq c\leqq \boxed{\text{ス}}$

である．

(2)　$\boxed{\text{シ}}\leqq c\leqq \boxed{\text{ス}}$の場合を考える．$G$が点$(3,-1)$を通るとき，$G$は$2$次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{セ}}+\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}\text{，}$$y$軸方向に$\boxed{\text{タチ}}$だけ平行移動したものである．また，このとき$G$と$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{\text{ッ}}+\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$である．

【３】(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{21}$とする．このとき

$\cos \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．

(2)　$1$辺の長さが$8$の正方形$\mathrm{DEFG}$において，辺$\mathrm{EF}$上の点$\mathrm{H}$と辺$\mathrm{FG}$上の点$\mathrm{I}$は$\cos \mathrm{\angle DIG}={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$$\tan \mathrm{\angle FIH}=2$を満たすとする．

(ⅰ)　次の$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

$\mathrm{DI}=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\mathrm{HI}=\boxed{\text{ク}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$\sqrt{5}$
• $\overline{)\text{1}}$　$2\sqrt{5}$
• $\overline{)\text{2}}$　$5$
• $\overline{)\text{3}}$　 $10$

(ⅱ)　次の$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．

　$\mathrm{▵DEH}\text{，}$$\mathrm{▵DGI}\text{，}$$\mathrm{▵DHI}$のうち$\mathrm{▵HFI}$と相似なものは$\boxed{\text{ケ}}$の二つのみである．また，$\mathrm{\angle DIG}\boxed{\text{コ}}\mathrm{\angle DIH}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{▵DEH}$と$\mathrm{▵DGI}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{▵DEH}$と$\mathrm{▵DHI}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{▵DGI}$と$\mathrm{▵DHI}$
• $\overline{)\text{3}}$　$<$
• $\overline{)\text{4}}$　$=$
• $\overline{)\text{5}}$　$>$

(ⅲ)　$\mathrm{▵DHI}$の外接円の半径は$\boxed{\text{サ}}$であり，$\mathrm{▵DHI}$の内接円の半径は$\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　(2)の$\mathrm{▵DHI}$を含む平面上にない点$\mathrm{J}$を$\mathrm{HJ}\perp \mathrm{HD}\text{，}$$\mathrm{HJ}\perp \mathrm{HI}\text{，}$$\mathrm{HJ}=8$を満たすようにとり，四面体$\mathrm{JDHI}$を考える．(1)を考慮すると，$\mathrm{▵IDJ}$の面積は$\boxed{\text{ソタ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$である．したがって，点$\mathrm{H}$から$\mathrm{▵IDJ}$に下ろした垂線$\mathrm{HK}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【４】(1)　次の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　$99$個の観測値からなるデータがある．四分位数について述べた記述で，どのようなデータでも成り立つものは，$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　平均値は第$1$四分位数と第$3$四分位数の間にある．

$\overline{)\text{1}}$　四分位範囲は標準偏差より大きい．

$\overline{)\text{2}}$　中央値より小さい観測値の個数は$49$個である．

$\overline{)\text{3}}$　最大値に等しい観測値を$1$個削除しても第$1$四分位数は変わらない．

$\overline{)\text{4}}$　第$1$四分位数より小さい観測値と，第$3$四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると，残りの観測値の個数は$51$個である．

$\overline{)\text{5}}$　第$1$四分位数より小さい観測値と，第$3$四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると，残りの観測値からなるデータの範囲はもとのデータの四分位範囲に等しい．

(2)　図１は，平成$27$年の男の市区町村別平均寿命のデータを$47$の都道府県$\mathrm{P}1\text{，}$$\mathrm{P}2\text{，}$$\cdots \text{，}$$\mathrm{P}47$ごとに箱ひげ図にして，並べたものである．

　次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は図１に関する記述である．

(Ⅰ)　四分位範囲はどの都道府県においても$1$以下である．

(Ⅱ)　箱ひげ図は中央値が小さい値から大きい値の順に上から下へ並んでいる．

(Ⅲ)　$\mathrm{P}1$のデータのどの値と$\mathrm{P}47$のデータのどの値とを比較しても$1.5$以上の差がある．

　次の$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは$\boxed{\text{ウ}}$である．

(3)　ある県は$20$の市区町村からなる．図２はその県の男の市区町村別平均寿命のヒストグラムである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　次の$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　図２のヒストグラムに対応する箱ひげ図は$\boxed{\text{エ}}$である．

(4)　図３は，平成$27$年の男の都道府県別平均寿命と女の都道府県別平均寿命の散布図である．$2$個の点が重なって区別できない所は黒丸にしている．図には補助的に切片が$5.5$から$7.5$まで$0.5$刻みで傾き$1$の直線を$5$本付加している．

　次の$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　都道府県ごとに男女の平均寿命の差をとったデータに対するヒストグラムは$\boxed{\text{オ}}$である．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

(5)　$0$または正の値だけとるデータの散らばりの大きさを比較するために

$\text{変動係数}={\displaystyle \frac{\text{標準偏差}}{\text{平均値}}}$

で定義される「変動係数」を用いる．ただし，平均値は正の値とする．

　昭和$25$年と平成$27$年の国勢調査の女の年齢データから表１を得た．

　次の$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

　昭和$25$年の変動係数$V$と平成$27$年の変動係数との大小関係は$\boxed{\text{カ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$V<0.509$
• $\overline{)\text{1}}$　$V=0.509$
• $\overline{)\text{2}}$　$V>0.509$

　次の$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$に当てはまる最も適切なものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

・平成$27$年の年齢データの値すべてを$100$倍する．このとき，変動係数は$\boxed{\text{キ}}$．

・平成$27$年の年齢データの値すべてに$100$を加える．このとき，変動係数は$\boxed{\text{ク}}$．

• $\overline{)\text{0}}$　小さくなる
• $\overline{)\text{1}}$　変わらない
• $\overline{)\text{2}}$　$10$倍になる
• $\overline{)\text{3}}$　$100$倍になる

【１】

［１］　$a$を定数とする．

(1)　直線$l\text{：}y=(a^2-2a-8)x+a$の傾きが負となるのは，$a$の値の範囲が

$\boxed{\text{アイ}}<a<\boxed{\text{ウ}}$

のときである．

(2)　$a^2-2a-8\ne 0$とし，(1)の直線$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$b$とする．

$a>0$の場合，$b>0$となるのは$\boxed{\text{エ}}<a<\boxed{\text{オ}}$のときである．

$a\leqq 0$の場合，$b>0$となるのは$a<\boxed{\text{カキ}}$のときである．

　また，$a=\sqrt{3}$のとき

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$

である．

【１】

［２］　自然数$n$に関する三つの条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を次のように定める．

$p$：$n$は$4$の倍数である

$q$：$n$は$6$の倍数である

$r$：$n$は$24$の倍数である

　条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の否定をそれぞれ$\bar{p}\text{，}$$\bar{q}\text{，}$$\bar{r}$で表す．

　条件$p$を満たす自然数全体の集合を$P$とし，条件$q$を満たす自然数全体の集合を$Q$とし，条件$r$を満たす自然数全体の集合を$R$とする．自然数全体の集合を全体集合とし，集合$P\text{，}$$Q\text{，}$$R$の補集合をそれぞれ$\bar{P}\text{，}$$\bar{Q}\text{，}$$\bar{R}$で表す．

(1)　次の$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　$32\in \boxed{\text{ス}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$P\cap Q\cap R$
• $\overline{)\text{1}}$　$P\cap Q\cap \bar{R}$
• $\overline{)\text{2}}$　$P\cap \bar{Q}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\bar{P}\cap Q$
• $\overline{)\text{4}}$　$\bar{P}\cap \bar{Q}\cap R$
• $\overline{)\text{5}}$　$\bar{P}\cap \bar{Q}\cap \bar{R}$

(2)　次の$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

　$P\cap Q$に属する自然数のうち最小のものは$\boxed{\text{セソ}}$である．また，$\boxed{\text{セソ}}\boxed{\text{タ}}R$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$=$
• $\overline{)\text{1}}$　$\subset$
• $\overline{)\text{2}}$　$\supset$
• $\overline{)\text{3}}$　$\in$
• $\overline{)\text{4}}$　$\notin$

(3)　次の$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　自然数$\boxed{\text{セソ}}$は，命題$\boxed{\text{チ}}$の反例である．

• $\overline{)\text{0}}$　「$(p\text{かつ}q)⟹\bar{r}$」
• $\overline{)\text{1}}$　「($p\text{または}q)⟹\bar{r}$」
• $\overline{)\text{2}}$　「$r⟹(p\text{かつ}q)$」
• $\overline{)\text{3}}$　「$(p\text{かつ}q)⟹r$」

【１】

〔３〕　$c$を定数とする．$2$次関数$y=x^2$のグラフを，$2$点$(c,0)\text{，}$$(c+4,0)$を通るように平行移動して得られるグラフを$G$とする．

(1)　$G$をグラフにもつ$2$次関数は，$c$を用いて

$y=x^2-2(c+\boxed{\text{ツ}})x+(c+\boxed{\text{テ}})$

と表せる．

　$2$点$(3,0)\text{，}$$(3,-3)$を両端とする線分と$G$が共有点をもつような$c$の値の範囲は

$-\boxed{\text{ト}}\leqq c\leqq \boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}\leqq c\leqq \boxed{\text{ヌ}}$

である．

(2)　$\boxed{\text{ニ}}\leqq c\leqq \boxed{\text{ヌ}}$の場合を考える．$G$が点$(3,-1)$を通るとき，$G$は$2$次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ネ}}+\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}\text{，}$$y$軸方向に$\boxed{\text{ハヒ}}$だけ平行移動したものである．また，このとき$G$と$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{\text{フ}}+\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．

【２】

［１］　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{BC}=2\sqrt{2}$とする．$\mathrm{\angle ACB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{CD}=\sqrt{2}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BCD}={\displaystyle \frac{3}{4}}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=\boxed{\text{ア}}$であり

$\sin \mathrm{\angle ADC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}}=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$であるから

$\mathrm{AD}=\boxed{\text{力}}$

である．また，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

【２】

［２］(1)　次の$\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　$99$個の観測値からなるデータがある．四分位数について述べた記述で，どのようなデータでも成り立つものは$\boxed{\text{コ}}$と$\boxed{\text{サ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　平均値は第$1$四分位数と第$3$四分位数の間にある．

$\overline{)\text{1}}$　四分位範囲は標準偏差より大きい．

$\overline{)\text{2}}$　中央値より小さい観測値の個数は$49$個である．

$\overline{)\text{3}}$　最大値に等しい観測値を$1$個削除しても第$1$四分位数は変わらない．

$\overline{)\text{4}}$　第$1$四分位数より小さい観測値と，第$3$四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると，残りの観測値の個数は$51$個である．

$\overline{)\text{5}}$　第$1$四分位数より小さい観測値と，第$3$四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると，残りの観測値からなるデータの範囲はもとのデータの四分位範囲に等しい．

(2)　図１は，平成$27$年の男の市区町村別平均寿命のデータを$47$の都道府県$\mathrm{P}1\text{，}$$\mathrm{P}2\text{，}$$\cdots \text{，}$$\mathrm{P}47$ごとに箱ひげ図にして，並べたものである．

　次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は図１に関する記述である．

(Ⅰ)　四分位範囲はどの都道府県においても$1$以下である．

(Ⅱ)　箱ひげ図は中央値が小さい値から大きい値の順に上から下へ並んでいる．

(Ⅲ)　$\mathrm{P}1$のデータのどの値と$\mathrm{P}47$のデータのどの値とを比較しても$1.5$以上の差がある．

　次の$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは$\boxed{\text{シ}}$である．

(3)　ある県は$20$の市区町村からなる．図２はその県の男の市区町村別平均寿命のヒストグラムである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　次の$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　図２のヒストグラムに対応する箱ひげ図は$\boxed{\text{ス}}$である．

(4)　図３は，平成$27$年の男の都道府県別平均寿命と女の都道府県別平均寿命の散布図である．$2$個の点が重なって区別できない所は黒丸にしている．図には補助的に切片が$5.5$から$7.5$まで$0.5$刻みで傾き$1$の直線を$5$本付加している．

　次の$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　都道府県ごとに男女の平均寿命の差をとったデータに対するヒストグラムは$\boxed{\text{セ}}$である．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

【３】

［１］　次の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　正しい記述は，$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　$1$枚のコインを投げる試行を$5$回繰り返すとき，少なくとも$1$回は表が出る確率を$p$とすると，$p>0.95$である．

$\overline{)\text{1}}$　袋の中に赤球と白球が合わせて$8$個入っている．球を$1$個取り出し，色を調べてから袋に戻す試行を行う．この試行を$5$回繰り返したところ赤球が$3$回出た．したがって，$1$回の試行で赤球が出る確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$である．

$\overline{)\text{2}}$　箱の中に「い」と書かれたカードが$1$枚，「ろ」と書かれたカードが$2$枚，「は」と書かれたカードが$2$枚の合計$5$枚のカードが入っている．同時に$2$枚のカードを取り出すとき，書かれた文字が異なる確率は${\displaystyle \frac{4}{5}}$である．

$\overline{)\text{3}}$　コインの面を見て「オモテ(表)」または「ウラ(裏)」とだけ発言するロボットが$2$体ある．ただし，どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が$0.9\text{，}$正しく発言しない確率が$0.1$であり，これら$2$体は互いに影響されることなく発言するものとする．いま，ある人が$1$枚のコインを投げる．出た面を見た$2$体が，ともに「オモテ」と発言したときに，実際に表が出ている確率を$p$とすると，$p\leqq 0.9$である．

【３】

［２］　$1$枚のコインを最大で$5$回投げるゲームを行う．このゲームでは，$1$回投げるごとに表が出たら持ち点に$2$点を加え，裏が出たら持ち点に$-1$点を加える．はじめの持ち点は$0$点とし，ゲーム終了のルールを次のように定める．

・持ち点が再び$0$点になった場合は，その時点で終了する．

・持ち点が再び$0$点にならない場合は，コインを$5$回投げ終わった時点で終了する．

(1)　コインを$2$回投げ終わって持ち点が$-2$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．また，コインを$2$回投げ終わって持ち点が$1$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　持ち点が再び$0$点になることが起こるのは，コインを$\boxed{\text{キ}}$回投げ終わったときである．コインを$\boxed{\text{キ}}$回投げ終わって持ち点が$0$点になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(3)　ゲームが終了した時点で持ち点が$4$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$である．

(4)　ゲームが終了した時点で持ち点が$4$点であるとき，コインを$2$回投げ終わって持ち点が$1$点である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

【４】(1)　$x$を循環小数$2.\stackrel{\cdot }{3}\stackrel{\cdot }{6}$とする．すなわち

$x=2.363636\cdots$

とする．このとき

$100\times x-x=236.\stackrel{\cdot }{3}\stackrel{\cdot }{6}-2.\stackrel{\cdot }{3}\stackrel{\cdot }{6}$

であるから，$x$を分数で表すと

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$

である．

(2)　有理数$y$は，$7$進法で表すと，二つの数字の並び$\mathit{ab}$が繰り返し現れる循環小数${2.\stackrel{\cdot \cdot }{\mathit{ab}}}_{(7)}$になるとする．ただし，$a\text{，}$$b$は$0$以上$6$以下の異なる整数である．このとき

$49y-y=2{\mathit{ab}.\stackrel{\cdot \cdot }{\mathit{ab}}}_{(7)}-{2.\stackrel{\cdot \cdot }{\mathit{ab}}}_{(7)}$

であるから

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}+7\times a+b}{\boxed{\text{キク}}}}$

と表せる．

(ⅰ)　$y$が，分子が奇数で分母が$4$である分数で表されるのは

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{4}}$または$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{4}}$

のときである．$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{4}}$のときは，$7\times a+b=\boxed{\text{シス}}$であるから

$a=\boxed{\text{セ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ソ}}$

である．

(ⅱ)　$y-2$は，分子が$1$で分母が$2$以上の整数である分数で表されるとする．このような$y$の個数は，全部で$\boxed{\text{タ}}$個である．

【５】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$7:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$7:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{CF}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{G}$とすると

${\displaystyle \frac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．したがって

${\displaystyle \frac{\mathrm{▵CDG}\text{の面積}}{\mathrm{▵BFG}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$

となる．

　$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$が同一円周上にあり，かつ$\mathrm{FD}=1$のとき

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ケコ}}$

である．さらに，$\mathrm{AE}=3\sqrt{7}$とするとき，$\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AC}=\boxed{\text{サシ}}$であり

$\mathrm{\angle AEG}=\boxed{\text{ス}}$

である．$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{\angle BGE}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{\angle ADB}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{\angle ABC}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{\angle BAD}$