2020　大学入試センター試験　本試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき

$\sin \theta >\sqrt{3}\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\cdots \text{①}$

となる$\theta$の値の範囲を求めよう．

　加法定理を用いると

$\sqrt{3}\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{イ}}}}\sin \theta$

である．よって，三角関数の合成を用いると，$\text{①}$は

$\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{エ}}}})<0$

と変形できる．したがって，求める範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi <\theta <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\pi$

である．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$k$を実数とする．$\sin \theta$と$\cos \theta$は$x$の$2$次方程式$25x^2-35x+k=0$の解であるとする．このとき，解と係数の関係により$\sin \theta +\cos \theta$と$\sin \theta \cos \theta$の値を考えれば，$k=\boxed{\text{ケコ}}$であることがわかる．

　さらに，$\theta$が$\sin \theta \geqq \cos \theta$を満たすとすると，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．このとき，$\theta$は$\boxed{\text{ソ}}$を満たす．$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$
• $\overline{)\text{1}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{12}}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$
• $\overline{)\text{2}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$



• $\overline{)\text{3}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
• $\overline{)\text{4}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$
• $\overline{)\text{5}}$　${\displaystyle \frac{5}{12}}\pi \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

【１】

［２］(1)　$t$は正の実数であり，$t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3$を満たすとする．このとき

$t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}=\boxed{\text{タチ}}$

である．さらに

$t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}\text{，}$$t-t^{-1}=\boxed{\text{トナニ}}$

である．

(2)　$x\text{，}$$y$は正の実数とする．連立不等式

$\{\begin{array}{cc}{\log }_3(x\sqrt{y})\leqq 5& \cdots \text{②}\\ {\log }_{81}{\displaystyle \frac{y}{x^3}}\leqq 1& \cdots \text{③}\end{array}$

について考える．

　$X={\log }_{3}x\text{，}$$Y={\log }_{3}y$とおくと，$\text{②}$は

$\boxed{\text{ヌ}}X+Y\leqq \boxed{\text{ネノ}}\cdots \text{④}$

と変形でき，$\text{③}$は

$\boxed{\text{ハ}}X-Y\geqq \boxed{\text{ヒフ}}\cdots \text{⑤}$

と変形できる．

　$X\text{，}$$Y$が$\text{④}$と$\text{⑤}$を満たすとき，$Y$のとり得る最大の整数の値は$\boxed{\text{へ}}$である．また，$x\text{，}$$y$が$\text{②}\text{，}$$\text{③}$と${\log }_{3}y=\boxed{\text{へ}}$を同時に満たすとき，$x$のとり得る最大の整数の値は$\boxed{\text{ホ}}$である．

【２】　$a>0$とし，$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$とおく．座標平面上で，放物線$y=x^2+2x+1$を$C\text{，}$放物線$y=f(x)$を$D$とする．また，$l$を$C$と$D$の両方に接する直線とする．

(1)　$l$の方程式を求めよう．

　$l$と$C$は点$(t,t^2+2t+1)$において接するとすると，$l$の方程式は

$y=(\boxed{\text{ア}}t+\boxed{\text{イ}})x-t^2+\boxed{\text{ウ}}\cdots \text{①}$

である．また，$l$と$D$は点$(s,f(s))$において接するとすると，$l$の方程式は

$y=(\boxed{\text{エ}}s-\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}})x$

である．ここで，$\text{①}$と$\text{②}$は同じ直線を表しているので，$t=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$s=\boxed{\text{コ}}a$が成り立つ．

　したがって，$l$の方程式は$y=\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}$である．

(2)　二つの放物線$C\text{，}$$D$の交点の$x$座標は$\boxed{\text{ス}}$である．

　$C$と直線$l\text{，}$および直線$x=\boxed{\text{ス}}$で囲まれた図形の面積を$S$とすると，$S={\displaystyle \frac{a^{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(3)　$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．二つの放物線$C\text{，}$$D$と直線$l$で囲まれた図形の中で$0\leqq x\leqq 1$を満たす部分の面積$T$は，$a>\boxed{\text{タ}}$のとき，$a$の値によらず

$T={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

であり，${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq \boxed{\text{タ}}$のとき

$T=-\boxed{\text{テ}}{a}^3+\boxed{\text{ト}}{a}^2-\boxed{\text{ナ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

(4)　次に，(2)，(3)で定めた$S\text{，}$$T$に対して，$U=2T-3S$とおく．$a$が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq \boxed{\text{タ}}$の範囲を動くとき．$U$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒフ}}}}$をとる．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}$$(0,6)$がある．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$l$とし，中心が点$(0,2)$で$x$軸に接する円を$C$とする．

(1)　直線$l$の方程式は$y=mx+\boxed{\text{ア}}$である．また，円$C$の方程式は$x^2+{(y-\boxed{\text{イ}})}^2=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$m=\pm \sqrt{\boxed{\text{エ}}}$のとき，直線$l$と円$C$は接する．$m=-\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$のときの接点の座標は$(\sqrt{\boxed{\text{オ}}},\boxed{\text{カ}})$である．

(3)　直線$l$と円$C$が異なる$2$点で交わるような$m$のうち，最小の正の整数は$\boxed{\text{キ}}$である．

(4)　直線$l$が点$\mathrm{B}$$(3,0)$を通るとき，$m=\boxed{\text{クケ}}$である．さらに，直線$l$と円$C$の二つの交点を点$\mathrm{A}$に近い方から順に点$\mathrm{D}\text{，}$点$\mathrm{E}$とすれば，座標はそれぞれ

$\mathrm{D}$$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セ}}}})\text{，}$$\mathrm{E}$$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$

である．

　このとき，次のように$\mathrm{▵ODE}$の面積$S$を求めよう．まず，$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\boxed{\text{チ}}$である．また，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{B}$の各$x$座標の値により，三つの線分$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{DE}\text{，}$$\mathrm{EB}$の長さの比は

$\mathrm{AD}:\mathrm{DE}:\mathrm{EB}=\boxed{\text{ツ}}:\boxed{\text{テ}}:5$

であることがわかる．このことから，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【４】　$4$次の整式$P(x)=2x^4-7x^3+8x^2-21x+18$について考える．

(1)　方程式$P(x)=0$の解を求めよう．

　$P(0)\ne 0$であるから，$x=0$は$P(x)=0$の解ではない．そこで，$P(x)=0$の両辺を$x^2$で割ると

$2x^2-7x+8-{\displaystyle \frac{21}{x}}+{\displaystyle \frac{18}{x^2}}=0$$\cdots \text{①}$

を得る．$t=x+{\displaystyle \frac{3}{x}}$とおき，$\text{①}$の左辺を$t$を用いて表すことにより

$\boxed{\text{ア}}{t}^2-\boxed{\text{イ}}t-\boxed{\text{ウ}}=0$

を得る．これを解くと，$t=\boxed{\text{エ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$となる．

　$t=\boxed{\text{エ}}$のとき，$x=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ク}}<\boxed{\text{ケ}}$とする．

　また，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のとき，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{シス}}}i}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

(2)　$\alpha =1-\sqrt{3}i$に対して，$P(\alpha )$の値を求めよう．

　${(\alpha -1)}^2=\boxed{\text{ソタ}}$である．これを整理すると

${\alpha }^2-\boxed{\text{チ}}\alpha +\boxed{\text{ツ}}=0$

である．

　$P(x)$を$x^2-\boxed{\text{チ}}x+\boxed{\text{ツ}}$で割ると，商は

$\boxed{\text{テ}}{x}^2-\boxed{\text{ト}}x-\boxed{\text{ナ}}$

で，余りは

$\boxed{\text{ニヌネ}}(x-\boxed{\text{ノ}})$

である．

　したがって，$P(\alpha )=\boxed{\text{ハヒ}}(\boxed{\text{フ}}+\sqrt{3}i)$である．

【３】　数列$\{a_n\}$は，初項$a_1$が$0$であり，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$のとき次の漸化式を満たすものとする．

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n+3}{n+1}}\{3a_n+3^{n+1}-(n+1)(n+2)\}$$\cdots \text{①}$

(1)　$a_2=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}}$とおき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよう．

　$\{b_n\}$の初項$b_1$は$\boxed{\text{イ}}$である．$\text{①}$の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で割ると

$b_{n+1}=b_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{(n+\boxed{\text{エ}})(n+\boxed{\text{オ}})}}-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}\right)}^{n+1}$

を得る．ただし，$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

　したがって

$b_{n+1}-b_n=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{n+\boxed{\text{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{n+\boxed{\text{オ}}}})-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}\right)}^{n+1}$

である．

　$n$を$2$以上の自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{k+\boxed{\text{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{k+\boxed{\text{オ}}}})$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}}\left({\displaystyle \frac{n-\boxed{\text{ケ}}}{n+\boxed{\text{コ}}}}\right)$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}\right)}^{k+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}\right)}^n$

が成り立つことを利用すると

$b_n={\displaystyle \frac{n-\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}(n+\boxed{\text{チ}})}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}\right)}^n$

が得られる．これは$n=1$のときも成り立つ．

(3)　(2)により，$\{a_n\}$の一般項は

$a_n={\boxed{\text{ツ}}}^{n-\boxed{\text{テ}}}(n^2-\boxed{\text{ト}})$$+{\displaystyle \frac{(n+\boxed{\text{ナ}})(n+\boxed{\text{ニ}})}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

で与えられる．ただし，$\boxed{\text{ナ}}<\boxed{\text{ニ}}$とする．

　このことから，すべての自然数$n$について，$a_n$は整数となることがわかる．

(4)　$k$を自然数とする．$a_{3k}\text{，}$$a_{3k+1}\text{，}$$a_{3k+2}$を$3$で割った余りはそれぞれ$\boxed{\text{ネ}}\text{，}$$\boxed{\text{ノ}}\text{，}$$\boxed{\text{ハ}}$である．また，$\{a_n\}$の初項から第$2020$項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{\text{ヒ}}$である．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$2$点

$\mathrm{A}$$(3,3,-6)\text{，}$$\mathrm{B}(2+2\sqrt{3},2-2\sqrt{3},-4)$

をとる．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とする．また，$\alpha$に含まれる点$\mathrm{C}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=24$$\cdots \text{①}$

を満たすとする．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{．}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\dot{}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{オカ}}$である．

(2)　点$\mathrm{C}$は平面$\alpha$上にあるので，実数$s\text{，}$$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すことができる．このとき，$\text{①}$から$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$$t=\boxed{\text{コ}}$である．したがって$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソタ}})$である．したがって，平面$\alpha$上の四角形$\mathrm{OABC}$は$\boxed{\text{チ}}\text{．}$$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．ただし，少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という．

$\overline{)\text{0}}$　正方形である

$\overline{)\text{1}}$　正方形ではないが，長方形である

$\overline{)\text{2}}$　長方形ではないが，平行四辺形である

$\overline{)\text{3}}$　平行四辺形ではないが，台形である

$\overline{)\text{4}}$　台形ではない

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$であるので，四角形$\mathrm{OABC}$の面積は，$\boxed{\text{ツテ}}$である．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=2\sqrt{6}$かつ$z$座標が$1$であるような点$\mathrm{D}$の座標は

$(\boxed{\text{ト}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}},\boxed{\text{ヌ}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}},1)$

である．このとき$\mathrm{\angle COD}=\boxed{\text{ハヒ}}\mathrm{°}$である．

　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の定める平面を$\beta$とする．$\alpha$と$\beta$は垂直であるので，三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする四面体$\mathrm{DABC}$の高さは$\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$である．したがって，四面体$\mathrm{DABC}$の体積は$\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．

【５】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った．

(1)　ある高校の生徒$720$人全員を対象に，ある$1$週間に市立図書館で借りた本の冊数について調査を行った．

　その結果，$1$冊も借りなかった生徒が$612$人，$1$冊借りた生徒が$54$人，$2$冊借りた生徒が$36$人であり，$3$冊借りた生徒が$18$人であった．$4$冊以上借りた生徒はいなかった．

　この高校の生徒から$1$人を無作為に選んだとき，その生徒が借りた本の冊数を表す確率変数を$X$とする．

　このとき，$X$の平均（期待値）は$E(X)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$X^2$の平均は$E(X^2)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．よって，$X$の標準偏差は$\sigma (X)={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　市内の高校生全員を母集団とし，ある$1$週間に市立図書館を利用した生徒の割合（母比率）を$p$とする．この母集団から$600$人を無作為に選んだとき，その$1$週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数$Y$で表す．

　$p=0.4$のとき，$Y$の平均は$E(Y)=\boxed{\text{キクケ}}\text{，}$標準偏差は$\sigma (Y)=\boxed{\text{コサ}}$になる．ここで，$Z={\displaystyle \frac{Y-\boxed{\text{キクケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$とおくと，標本数$600$は十分に大きいので，$Z$は近似的に標準正規分布に従う．このことを利用して，$Y$が$215$以下となる確率を求めると，その確率は$0.\boxed{\text{シス}}$になる．

　また，$p=0.2$のとき，$Y$の平均は，$\boxed{\text{キクケ}}$の${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{セ}}}}$倍，標準偏差は$\boxed{\text{コサ}}$の${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{3}}$倍である．

(3)　市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする．$1$回あたりの利用時間（分）を表す確率変数を$W$とし，$W$は母平均$m\text{，}$母標準偏差$30$の分布に従うとする．この母集団から大きさ$n$の標本$W_1\text{，}$$W_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$W_n$を無作為に抽出した．

　利用時間が$60$分をどの程度超えるかについて調査するために

$U_1=W_1-60\text{，}$$U_2=W_2-60\text{，}$$\cdots \text{，}$$U_n=W_n-60$

とおくと，確率変数$U_1\text{，}$$U_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$U_n$の平均と標準偏差はそれぞれ

$E(U_1)=E(U_2)=\cdots =E(U_n)=m-\boxed{\text{タチ}}$

$\sigma (U_1)=\sigma (U_2)=\cdots =\sigma (U_n)=\boxed{\text{ツテ}}$

である．

　ここで，$t=m-60$として，$t$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めよう．この母集団から無作為抽出された$100$人の生徒に対して$U_1\text{，}$$U_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$U_{100}$の値を調べたところ，その標本平均の値が$50$分であった．標本数は十分大きいことを利用して，この信頼区間を求めると

$\boxed{\text{トナ}}.\boxed{\text{ニ}}\leqq t\leqq \boxed{\text{ヌネ}}.\boxed{\text{ノ}}$

になる．