2020 大学入試センター試験 追試験 数学I/数学IAMathJax

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2020 大学入試センター試験 追試

数学I

配点15点

数学IA【1】〔1〕の類題.数学IAはセまで.

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕  (19+5 13) (19- 513 )= アイ であるから, 19-5 13 は正の実数である. 19+5 13 の正の平方根を α とし, 19-5 13 の正の平方根を β とする.このとき

α2+ β2= ウエ αβ=

であり

(α +β)2 = カキ (α -β)2 = クケ

である.したがって

α= + シス

β= - シス

である.

 このとき, α-β> n を満たす最大の整数 n である.

  αβ= に注意すると, β< x<α を満たす整数 x は全部で 個あることがわかる.

2020 大学入試センター試験 追試

数学I

配点10点

数学IA【1】〔2)の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕  a を定数とする.実数 x に関する二つの条件 p q を次のように定める.

p-1 x3

q|x -a|>3

 条件 p q の否定をそれぞれ p q で表す.

(1) 命題「 p q 」が真であるような a の値の範囲は

a< チツ <a

である.

 また,命題「 p q 」が真であるような a の値の範囲は

a

である.

(2)  a= のとき, x= は命題「 p q 」の反例である.

(3) 実数 x に関する条件 r を次のように定める.

r3<x 4

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

  a=1 のとき,条件「 p かつ q 」は条件 r であるための

0  必要条件であるが,十分条件ではない

1  十分条件であるが,必要条件ではない

2  必要十分条件である

3  必要条件でも十分条件でもない

2020 大学入試センター試験 追試

数学I

配点25点

数学IA【1】〔3〕の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を定数とする. f( x)=( x-a) (x-4 )+4 とおき, x 2 次関数 y=f (x ) のグラフを G とする.

(1) グラフ G の頂点の座標は

( a+ , エオ a2 + a)

である.

(2) グラフ G x 軸が共有点をもつような a の値の範囲は

a a

である. G y 軸との交点の y 座標を k とすると, a のとき, k のとり得る値の範囲は k コサ である.

(3)  a とする.

 関数 y=f( x) の最小値が -12 であるのは, a= シス のときである.このとき,グラフ G x 軸との交点の x 座標は ± である.

(4)  a4 とする.

 関数 y=f (x ) a-2 xa+2 における最大値は a であり,関数 y=f (x) a-2 xa+2 における最小値は

4a のとき, エオ a2+ a であり,

<a のとき, テト a + ナニ である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学I

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】(1)  ▵ABC とその辺 BC 上の点 M

AM=2 AC=2 57 CM=8 3

sin∠ABC:sin ∠AMB=1: 3

を満たすとする.このとき

cos∠AMC= -

であり, AB= である.また

BM= BC= カキ

である. ▵ABC の面積は ケコ である.

(2) (1)の ▵ABC を含む平面上にない点 D

AD=2 7 BD=8 CD=16

を満たすようにとり,四面体 ABCD を考える.

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.

 四面体 ABCD の四つの面のうち直角三角形は の二つのみである.

 したがって,(1)の点 M に対して ∠DAM= セソ ° であり

DM=

である.また

tan∠CDM= ツテ

であるから, ∠CDM の大きさは である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0   30 ° 以下

1   30 ° より大きく 45 ° 以下

2   45 ° より大きく 60 ° 以下

3   60° より大きく 90 ° 未満

2020 大学入試センター試験 追試

数学I

配点20点

数学IA【2】〔2〕の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 高等学校(中等教育学校を含む)の卒業者のうち,大学または短期大学に進学した者の割合(以下,進学率)と,就職した者の割合(以下,就職率)が 47 の都道府県別に公表されている.

(1) 図1は 2016 年度における都道府県別の進学率のヒストグラムであり,図2は 2016 年度における都道府県別の就職率の箱ひげ図である.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図1  2016 年度における

進学率のヒストグラム

図2  2016 年度における

就職率の箱ひげ図

(出典:文部科学省のWebページにより作成)

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

  2016 年度における都道府県別の進学率(横軸)と就職率(縦軸)の散布図は である.

0

1

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

2

3

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

(2) 図3は, 1973 年度から 2018 年度まで, 5 年ごとの 10 個の年度(それぞれを時点という)における都道府県別の進学率(上側)と就職率(下側)を箱ひげ図で表したものである.ただし,設問の都合で 1993 年度における箱ひげ図は表示していない.

 次の に当てはまるものを,下の 0 4 のうちから一つ選べ.

 図3から読み取れることとして,正しい記述は である.

0   1993 年度を除く 9 時点すべてにおいて,進学率の左側のひげの長さと右側のひげの長さを比較すると,右側の方が長い.

1   2003 年度, 2008 年度, 2013 年度, 2018 年度の 4 時点すべてにおいて,就職率の左側のひげの長さと右側のひげの長さを比較すると,左側の方が長い.

2   2003 年度, 2008 年度, 2013 年度, 2018 年度の 4 時点すべてにおいて,就職率の四分位範囲は,それぞれの直前の時点より減少している.

3   1993 年度を除く時点ごとに進学率と就職率の四分位範囲を比較すると,つねに就職率の方が大きい.

4  就職率について, 1993 年度を除くどの時点においても最大値は最小値の 2 倍以上である.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図3 進学率(上側)と就職率(下側)の箱ひげ図

(出典:文部科学省のWebページにより作成)

(3) 図3から 1998 年度, 2003 年度, 2008 年度, 2013 年度, 2018 年度の 5 時点における都道府県別の就職率の箱ひげ図を抜き出したものが図4である.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図4 就職率の箱ひげ図

 以下は,これら 5 時点における都道府県別の就職率のヒストグラムである.

 次の に当てはまるものを,図4を参考に下の 0 4 のうちから一つずつ選べ.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.

1998 年度におけるヒストグラムは である.

2003 年度におけるヒストグラムは である.

0

1

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

2

3

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

4

 
2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図  

(4) 図5は, 1993 年度における都道府県別の進学率(横軸)と就職率(縦軸)の散布図である.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図5  1993 年度における進学率と就職率の散布図

(出典:文部科学省のWebページにより作成)

 次の に当てはまる最も適当なものを,それぞれの解答群から一つずつ選べ.

  1993 年度における就職率の 34.8 % である.

 また, 1993 年度における進学率の % である.

の解答群

の解答群

(5) 図5に示した 1993 年度における都道府県別の進学率と就職率の相関係数を計算したところ, -0.41 であった.就職率が 45 % を超えている 5 都道府県を黒丸で示したのが図6である.

 次の に当てはまるものを,下の 0 5 のうちから一つ選べ.

 就職率が 45 % を超えている 5 都道府県を除外したときの相関係数を r とおくと, である.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図6  1993 年度における進学率と就職率の散布図

(6)  1993 年度における進学率 X 就職率 Y について, X の平均値の 2 乗の値を求めたい. X2 の平均値, Y の平均値と標準偏差, X Y の共分散と相関係数は表1のとおりであった.ただし, X Y の共分散とは, X の偏差と Y の偏差の積の平均値である.なお,表1の数値は正確な値であり,四捨五入されていないものとする.

表1  2 乗の平均値,平均値,標準偏差,共分散,および相関係数

X2

平均値
Y

平均値
Y

標準偏差
X Y

共分散
X Y

相関係数
1223 34 7.6 -20 -0.41

 また,必要であれば以下の事実を用いてもよい.

  n を自然数とする.実数値のデータ u1 u2 un に対して,平均値を u 分散を s2 とおくと

s2= u12+ u22+ +un2 n- (u )2

が成り立つ.

  X の標準偏差は,小数第 2 位を四捨五入すると, . である.

 次の に当てはまる数値として最も近いものを,下の 0 7 のうちから一つ選べ.

  X の平均値の 2 乗の値は である.



2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点10点

数学I【1】〔1〕の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕  (19+5 13) (19- 513 )= アイ であるから, 19-5 13 は正の実数である. 19+5 13 の正の平方根を α とし, 19-5 13 の正の平方根を β とする.このとき

α2+ β2= ウエ αβ=

であり

(α +β)2 = カキ (α -β)2 = クケ

である.したがって

α= + シス

β= - シス

である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点8点

数学I【1】〔2〕の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕  a を定数とする.実数 x に関する二つの条件 p q を次のように定める.

p-1 x3

q|x -a|>3

 条件 p q の否定をそれぞれ p q で表す.

(1) 命題「 p q 」が真であるような a の値の範囲は

a< ソタ <a

である.

(2)  a= のとき, x= は命題「 p q 」の反例である.

(3) 実数 x に関する条件 r を次のように定める.

r3<x 4

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

  a=1 のとき,条件「 p かつ q 」は条件 r であるための

0  必要条件であるが,十分条件ではない

1  十分条件であるが,必要条件ではない

2  必要十分条件である

3  必要条件でも十分条件でもない

2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点12点

数学I【2】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔3〕  a を4 以上の定数とし, f( x)=( x-a) (x-4 )+4 とおく.

(1)  2 次関数 y=f (x ) の最小値は トナ a2 + a である.

(2)  2 次関数 y=f (x ) a-2 xa+2 における最大値は a である.

 また, 2 次関数 y=f (x ) a-2 xa+2 における最小値は

4a のとき, トナ a2+ a であり,

<a のとき, ハヒ a + フヘ である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔1〕  ▵ABP において, AP=6 BP=2 17 sin∠PAB= 2 23 AB<AP とする.

 次の に当てはまるものを,下の 0 2 のうちから一つ選べ.

  AB= であり, ∠PAB である.

 直線 AB 上に点 C を, 3 A B C がこの順に並び,かつ CP= 317 となるようにとる.このとき

AC= BC=

である.したがって, ▵PBC の外接円の半径 R

R= オカ

である.この外接円の中心を O とすると

AO2-R 2= ケコ

である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点15点

数学I【4】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔2〕 高等学校(中等教育学校を含む)の卒業者のうち,大学または短期大学に進学した者の割合(以下,進学率)と,就職した者の割合(以下,就職率)が 47 の都道府県別に公表されている.

(1) 図1は 2016 年度における都道府県別の進学率のヒストグラムであり,図2は 2016 年度における都道府県別の就職率の箱ひげ図である.なお,ヒストグラムの各階級の区間は,左側の数値を含み,右側の数値を含まない.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図1  2016 年度における

進学率のヒストグラム

図2  2016 年度における

就職率の箱ひげ図

(出典:文部科学省のWebページにより作成)

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

  2016 年度における都道府県別の進学率(横軸)と就職率(縦軸)の散布図は である.

0

1

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

2

3

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図 2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

(2) 図3は, 1973 年度から 2018 年度まで, 5 年ごとの 10 個の年度(それぞれを時点という)における都道府県別の進学率(上側)と就職率(下側)を箱ひげ図で表したものである.ただし,設問の都合で 1993 年度における箱ひげ図は表示していない.

 次の に当てはまるものを,下の 0 4 のうちから一つ選べ.

 図3から読み取れることとして,正しい記述は である.

0   1993 年度を除く 9 時点すべてにおいて,進学率の左側のひげの長さと右側のひげの長さを比較すると,右側の方が長い.

1   2003 年度, 2008 年度, 2013 年度, 2018 年度の 4 時点すべてにおいて,就職率の左側のひげの長さと右側のひげの長さを比較すると,左側の方が長い.

2   2003 年度, 2008 年度, 2013 年度, 2018 年度の 4 時点すべてにおいて,就職率の四分位範囲は,それぞれの直前の時点より減少している.

3   1993 年度を除く時点ごとに進学率と就職率の四分位範囲を比較すると,つねに就職率の方が大きい.

4  就職率について, 1993 年度を除くどの時点においても最大値は最小値の 2 倍以上である.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図3 進学率(上側)と就職率(下側)の箱ひげ図

(出典:文部科学省のWebページにより作成)

(3) 図4は, 1993 年度における都道府県別の進学率(横軸)と就職率(縦軸)の散布図である.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図4  1993 年度における進学率と就職率の散布図

(出典:文部科学省のWebページにより作成)

 次の に当てはまる最も適当なものを,それぞれの解答群から一つずつ選べ.

  1993 年度における就職率の 34.8 % である.

 また, 1993 年度における進学率の % である.

の解答群

の解答群

(4) 図4に示した 1993 年度における都道府県別の進学率と就職率の相関係数を計算したところ, -0.41 であった.就職率が 45 % を超えている 5 都道府県を黒丸で示したのが図5である.

 次の に当てはまるものを,下の 0 5 のうちから一つ選べ.

 就職率が 45 % を超えている 5 都道府県を除外したときの相関係数を r とおくと, である.

2020年大学入試センター試験追試験数学I【4】2020100000305の図

図5  1993 年度における進学率と就職率の散布図

(5)  1993 年度における進学率 X 就職率 Y について, X の平均値の 2 乗の値を求めたい. X2 の平均値, Y の平均値と標準偏差, X Y の共分散と相関係数は表1のとおりであった.ただし, X Y の共分散とは, X の偏差と Y の偏差の積の平均値である.なお,表1の数値は正確な値であり,四捨五入されていないものとする.

表1  2 乗の平均値,平均値,標準偏差,共分散,および相関係数

X2

平均値
Y

平均値
Y

標準偏差
X Y

共分散
X Y

相関係数
1223 34 7.6 -20 -0.41

 また,必要であれば以下の事実を用いてもよい.

  n を自然数とする.実数値のデータ u1 u2 un に対して,平均値を u 分散を s2 とおくと

s2= u12+ u22+ +un2 n- (u )2

が成り立つ.

  X の標準偏差は,小数第 2 位を四捨五入すると, . である.

 次の に当てはまる数値として最も近いものを,下の 0 7 のうちから一つ選べ.

  X の平均値の 2 乗の値は である.



2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点20点

【3】〜【5】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 つぼの中に 6 個の赤玉と 4 個の白玉の合計 10 個の玉が入っている.このつぼから,玉を 1 個ずつ 10 回続けて取り出す.ただし,一度取り出した玉はもとに戻さないものとする.

(1)  1 回目と 2 回目に連続して赤玉が取り出される確率は である.

(2)  i 2 から 9 までの整数とし, i 回目と ( i+1) 回目に連続して赤玉が取り出される確率 pi を考える.同じ色の玉は区別しない場合, 10 個すべての玉の取り出し方は,取り出した玉を 1 列に並べる並べ方の総数に等しく, ウエオ 通りである.それらのうち, 8 回目の取り出しを終えた時点で白玉がすべて取り出されている取り出し方は カキ 通りである.よって, p9 の値は である.また, p3 の値は である.

(3)  4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個以上取り出されている確率は シス セソ である.よって, 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個以上取り出されていたとき, 1 回目と 2 回目に連続して赤玉が取り出されている条件付き確率は タチ ツテ である.

(4)  4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個以上取り出されていたとき, 9 回目と 10 回目に連続して赤玉が取り出される条件付き確率は トナ ニヌネ である.

(5) つぼからまず 3 個の玉を同時に取り出して,玉の色は確認せずに印をつけてつぼに戻したのち,改めて玉を 1 個ずつ 10 回続けて取り出す.一度取り出した玉はもとに戻さない. 9 回目と 10 回目に連続して印のついた赤玉が取り出される確率は ハヒ である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点20点

【3】〜【5】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】(1) 不定方程式

7x-31 y=1

を満たす自然数 x y の組の中で, x が最小のものは

x= y=

であり,不定方程式 のすべての整数解は, k を整数として

x= ウエ k+ y= k+

と表せる.

(2) 自然数 n に対し, n2 で割った余りが となるのは, n で割った余りが, または のときである.ただし, の解答の順序は問わない.

(3) 不定方程式 の整数解 y のうち,ある自然数 n を用いて y= n2 と表せるものを小さい方から四つ並べると

ケコ サシス セソタ

である.

(4)  31( 7x-1 ) が整数であるような自然数 x のうち, x1000 を満たす最小のものは チツテト である. x が チツテト のとき, 31(7 x-1 ) の値は ナニヌ である.

2020 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点20点

【3】〜【5】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】  ▵PBD の辺 PB 上に 2 P B のいずれとも異なる点 A をとり,辺 PD 上に 2 P D のいずれとも異なる点 C をとる. 4 A B C D が同一円周上にあり, AB=2 PC=2 PD=12 のとき, PA= である.

 点 M を線分 AB の中点とし,点 N を線分 CD の中点とする.線分 AB を直径とする円と線分 CD を直径とする円が点 E で接していて, 3 M E N が一直線上にこの順に並んでいるとする.このとき

MN= PE=

である.また

cos∠MPN= オカ キク

である.

 線分 PN 上に点 F を直線 MF と直線 PN が垂直に交わるようにとり,線分 PM 上に点 G を直線 NG と直線 PM が垂直に交わるようにとる.このとき

PF= ケコ PG= シス

である.さらに,線分 MF と線分 NG の交点を J とする.このとき

JE= チツ

である.

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