2020　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$a>0\text{，}$$a\ne 1\text{，}$$M>0\text{，}$$N>0$のとき，

${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　次の不等式を解きなさい．

$2{\log }_{\frac{1}{2}}x>1+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+3)$

(3)　$2x+y=3$のとき，${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)+{\log }_{\frac{1}{2}}y$の最小値と，そのときの$x$と$y$の値を求めなさい．

【２】　関数$y=|2x^2-2|+x+1$について，次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=|2x^2-2|+x+1$のグラフをかきなさい．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^2}(|2x^2-2|+x+1)\mathit{dx}$

の値を求めなさい．

(3)　(1)のグラフと直線$y=3x+a$の共有点の個数が，$1$または$3$であるような実数$a$の値をすべて求めなさい．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{．}$$\mathrm{AC}=3$とする．半径の等しい$n$個の円が$\mathrm{▵ABC}$の中にあり，一列に並んで辺$\mathrm{AB}$に接しているとする．それらの円を，中心が頂点$\mathrm{A}$に近い順に$O_1\text{，}$$O_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$O_n$とする．$O_1$は辺$\mathrm{AC}$にも接し，$O_n$は辺$\mathrm{BC}$にも接し，隣り合う$2$つの円は外接しているとする．次の問いに答えなさい．

(1)　余弦の加法定理を使って

${\tan }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$

を導きなさい．

(2)　$O_1$の半径を$r$とし，$O_1$と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}$の長さを$r$を用いて表しなさい．

(3)　$O_1\text{，}$$O_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$O_n$の円周の長さの和を$L_n$とする．このとき，円の半径を$n$の式で表し，$L_n$を求めて，$L_{n+1}-L_n$の符号を答えなさい．

(4)　$O_1\text{，}$$O_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$O_n$の面積の和を$S_n$とする．$S_n$の値を最大にする$n$を求めなさい．