2020　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$a>0$とする．関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-a{x}^2+bx+a^2-2$

と定める．また，曲線$y=f(x)$上の点$(1,2)$における接線$l$の傾きを$4$とする．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と接線$l$の，点$(1,2)$以外の共有点の座標を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と接線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x-2}{(2x+1)(x^2+x+1)}}$

と定める．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{a}{2x+1}}+{\displaystyle \frac{bx+c}{x^2+x+1}}$が成り立つように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を定めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f({\cos }^{2}x)\sin (2x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【３】　$k$を正の整数とする．各項が正の数である数列$\{a_n\}$は

$a_1=e^2\text{，}$$a_{n+1}=e\cdot {(a_n)}^k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$b_n=\log a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　方程式$z^2=2+\sqrt{5}i$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$i$は虚数単位とし，$\alpha$の実部は正の実数とする．

(1)　$2+\sqrt{5}i$の極形式を

$2+\sqrt{5}i=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

とするとき，$r\text{，}$$\cos \theta$および$\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(3)　複素数平面上で$\alpha \text{，}$$\beta$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{AB}$を一辺とする正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{C}$を表す複素数を$\gamma$とする．このとき，$\gamma$をすべて求めよ．

【５】　$3$点$\mathrm{A}$$(2,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,-1,2)$の定める平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$上に点$\mathrm{P}$$(0,y,3)$があるとき，$y$の値を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．